1、2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）定义ab=|a|2ab若向量a=(1，2，2)，向量b为单位向量，则ab的取值范围是（）A0，6B6，12C0，6）D（1，5）2（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：（AA1+AD+AB）23AB2；A1C（A1B1A1A）0；AD1与A1B的夹角为60，其中正确命题的个数是（）A0B1C2D33（5分）圆x2+y22x50与圆x2+y2+2x4y40的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y
2、10B2xy+10Cx2y+10Dxy+104（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，F1PF290若PF1F2的内切圆面积为4c2，则椭圆的离心率为（）A12B32C23D235（5分）已知F1，F2是椭圆x225+y216=1的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A4B3C2D16（5分）已知等比数列an的各项均为正数，公比为q，a11，a6+a7a6a7+12，记an的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A0q1Ba61CT121DT1317（5分）若数列an满足a1
3、=12，an+1=12an2an+m，若对任意的正整数都有an2，则实数m的最大值为（）A12B1C2D48（5分）若函数f（x）（x+a）ex的极值点为1，则a（）A2B1C0D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0B|a|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件C若AB，CD共线，则AB/CDD对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(
4、x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面（多选）10（5分）过抛物线y23x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y10），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）AOAOB=0BA1FB190C直线MBx轴D|AF|BF|的最小值是94（多选）11（5分）设Sn是数列an的前n项和，a11，an+1+SnSn+10，则下列说法正确的有（）A数列an的前n项和为Sn=1nB数列1Sn为递增数列C数列an的通项公式为an=1n(n1)D数列an的最大项为a1（多选）12（5分）若直线y=12x+b是函数f（
5、x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）Af(x)=1xBf（x）x4Cf（x）sinxDf（x）ex三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB2，EF4，CACB3，若ABAE+ACAF=7，则EF与BC的夹角的余弦值等于 14（5分）直线（a1）xy+2a+10恒过定点 15（5分）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 16（5分）若函数f（x）=alnxx22(x0)x+1x+a(x0)的最大值为f（1），则实数a的取值范围为 四、解答题：本
6、题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，ABC和BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直DE平面BCD，且AE=6（1）设P是DE的中点，证明：AP平面BCD（2）求二面角BAEC的正弦值18（12分）在ABC中，A（3，2），B（1，5），点C在直线y3x+3上，若ABC的面积为10，求点C的坐标19（12分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn2an（1）求an的通项公式；（2）设cn4an+1，求数列cn的前n项和Tn20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn+13an=Sn+23n2（1）记bn=an13n1，证明：bn
7、是等差数列，并求bn的通项公式；（2）记数列an的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn2022成立的最大正整数n21（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，A是C的右顶点，|AF2|=23，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且ADAE=0，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由22（12分）已知函数f（x）2exa（x+1）ln（x+1）+（a2）x（1）当a2时，讨论f（x）的单调性；
8、（2）当x0，时，f（x）cosx+1恒成立，求a的取值范围2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）定义ab=|a|2ab若向量a=(1，2，2)，向量b为单位向量，则ab的取值范围是（）A0，6B6，12C0，6）D（1，5）【解答】解：由题意知|a|=3，|b|=1设a与b的夹角为，则ab=|a|2ab=|a|2|a|b|cos=93cos又0，cos1，1ab6，12，故选：B2（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：（AA1+
9、AD+AB）23AB2；A1C（A1B1A1A）0；AD1与A1B的夹角为60，其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【解答】解：对于（AA1+AD+AB）2（AA1）2+（AD）2+（AB）2+2AA1AD+2AA1AB+2ADAB=3AB2，故正确，对于A1C（A1B1A1A）=A1CAB1=0，故正确，对于A1BD1C，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，AD1C60，AD1与A1B的夹角为120，故错误，故选：C3（5分）圆x2+y22x50与圆x2+y2+2x4y40的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y10B2xy+10Cx2y+10Dxy+10【解答】解
10、：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（1，2），那么过两圆圆心的直线为：y0x1=021+1，即：x+y10，与公共弦垂直且平分故选：A4（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，F1PF290若PF1F2的内切圆面积为4c2，则椭圆的离心率为（）A12B32C23D23【解答】解：根据勾股定理得到：PF12+PF22=F1F22，即4a22PF1PF2=4c2，PF1F2的内切圆面积为r2=4c2，故r=c2，根据等面积法得到：12(2a+2c)r=12PF1PF2，故PF1PF2=ac+c2，4a22ac2c24c2，即3e2+e20，解得e
11、=23或e1（舍去）故选：C5（5分）已知F1，F2是椭圆x225+y216=1的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A4B3C2D1【解答】解：P是焦点为F1、F2的椭圆x225+y216=1上一点，PQF1PF2的外角平分线，QF1PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，|PM|PF1|，|PF1|+|PF2|2a10，|MF2|PM|+|PF2|2a10，由题意知OQ是F1F2M的中位线，|OQ|a5，Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离dab541故选：D6（5分
12、）已知等比数列an的各项均为正数，公比为q，a11，a6+a7a6a7+12，记an的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A0q1Ba61CT121DT131【解答】解：等比数列an的各项均为正数，a11，a6+a7a6a7+12，（a61）（a71）0，a11，若a61，则一定有a71，不符合，由题意得a61，a71，0q1a6a7+12，a6a71，T12a1a2a3a12（a6a7）61，T13a7131，满足Tn1的最大正整数n的值为12故选：D7（5分）若数列an满足a1=12，an+1=12an2an+m，若对任意的正整数都有an2，则实数m的最大值为（）A12B1C2D4【解答
13、】解：an+1=12an2an+m，an+1an=12an22an+m=12(an2)2+m2，若m2，则an+1an=12(an2)2+m20，则an+1an+m2，则ana1+（n1）（m2），那么an可以无限的大下去，不符合题意；若m2，则an+1an0，则an+1an，数列an是递增数列，又a1=12，故an0，又an+12=12an(an2)，故an+12与an2同号，则an2恒成立，符合题意，故选：C8（5分）若函数f（x）（x+a）ex的极值点为1，则a（）A2B1C0D1【解答】解：f（x）ex+（x+a）ex（x+a+1）ex，函数f（x）（x+a）ex的极值点为1，f（1）
14、0，a+20，a2，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0B|a|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件C若AB，CD共线，则AB/CDD对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面【解答】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；若a，b共线，则|a|+|b|=|a+b|（同向）或|a|b|=|a
15、+b|（反向），故B是假命题；只有当x+y+z1时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题，若AB，CD共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题，故选：BCD（多选）10（5分）过抛物线y23x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y10），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）AOAOB=0BA1FB190C直线MBx轴D|AF|BF|的最小值是94【解答】解：由题意可知，抛物线y23x的焦点F的坐标为(34，0)，准线方程为x=34，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+34，
16、代入y23x，得y23my94=0，所以y1+y2=3m，y1y2=94，则x1x2=(my1+34)(my2+34)=916，所以OAOB=(x1，y1)(x2，y2)=x1x2+y1y2=91694=27160，故A错误，因为A(y123，y1)，O(0，0)，M(34，yM)三点共线，所以y10y1230=yM0340，所以y1yM=94，又y1y2=94，所以yMy2，所以直线MBx轴，所以C正确，由题意可得A1，B1的坐标分别为(34，y1)，(34，y2)，所以FA1FB1=(3434，y1)(3434，y2)=94+y1y2=9494=0，所以A1FB190，所以B正确，设直线A
17、B的倾斜角为（0），则|AF|=321cos，|BF|=321+cos，所以|AF|BF|=321cos321+cos=941cos2=94sin294，当且仅当ABx轴时取等号，所以D正确故选：BCD（多选）11（5分）设Sn是数列an的前n项和，a11，an+1+SnSn+10，则下列说法正确的有（）A数列an的前n项和为Sn=1nB数列1Sn为递增数列C数列an的通项公式为an=1n(n1)D数列an的最大项为a1【解答】解：由an+1+SnSn+10，得Sn+1SnSnSn+1，1Sn1Sn+1=1，即1Sn+11Sn=1，又1S1=1a1=1，数列1Sn为以1为首项，以1为公差的等差
18、数列，则1Sn=1+(n1)1=n，可得Sn=1n，故AB正确；当n2时，an=SnSn1=1n1n1=n1nn(n1)=1n(n1)，an=1，n=11n(n1)，n2，数列an的最大项为a1，故C错误，D正确故选：ABD（多选）12（5分）若直线y=12x+b是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）Af(x)=1xBf（x）x4Cf（x）sinxDf（x）ex【解答】解：直线y=12x+b的斜率为k=12，由f（x）=1x的导数为f（x）=1x2，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）x4的导数为f（x）4x3，而4x3=12，解得x=12，故B可以选；由f（x）sin
19、x的导数为f（x）cosx，而cosx=12有解，故C可以选；由f（x）ex的导数为f（x）ex，而ex=12，解得xln2，故D可以选故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB2，EF4，CACB3，若ABAE+ACAF=7，则EF与BC的夹角的余弦值等于16【解答】解：由题意得：BC2=9（ACAB）2=AC2+AB22ACAB=9+42ACAB，ACAB=2，ABAE+ACAF=7，AB(AB+BE)+AC（AB+BF）=AB2+ABBE+ACAB+ACBF+AB(BF)+2+ACBF 6+BF(ACAB)6+12
20、EFBC，EFBC=2，43cosEF，BC=2，EF与BC的夹角的余弦值为cosBF，BC=16故答案为：1614（5分）直线（a1）xy+2a+10恒过定点（2，3）【解答】解：直线（a1）xy+2a+10，即 a（x+2）+（xy+1）0，令x+20，求得y3，可得此直线经过定点（2，3），故答案为：（2，3）15（5分）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为（3，15）【解答】解：设M（m，n），m，n0，椭圆C：x236+y220=1的a6，b25，c4，e=ca=23，由于M为C上一点且在第一象限，可得
21、|MF1|MF2|，MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|2c或|MF2|2c，即有6+23m8，即m3，n=15；623m8，即m30，舍去可得M（3，15）故答案为：（3，15）16（5分）若函数f（x）=alnxx22(x0)x+1x+a(x0)的最大值为f（1），则实数a的取值范围为 0，2e3【解答】解：x0时，f（x）f（1）a2，x0时，alnxx22a2，即a（lnx1）x2，xe时，a（lnx1）x2恒成立，此时aR，0xe时，ax2lnx1恒成立，令g（x）=x2lnx1，0xe，则g(x)=x(2lnx3)(lnx1)20，g(x)单调递减，且x0时，g（x）0，所以a0
22、，xe时，ax2lnx1恒成立，令h（x）=x2lnx1，xe，则(x)=x(2lnx3)(lnx1)2，当exe32时，h（x）0，xe32时，h（x）0，所以(x)min=(e32)=2e3，从而a2 e3，综上，a0，2 e3，故答案为：0，2 e3四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，ABC和BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直DE平面BCD，且AE=6（1）设P是DE的中点，证明：AP平面BCD（2）求二面角BAEC的正弦值【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，ABC是正三角形，OABC，平
23、面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，OA平面ABC，OA平面BCDOD平面BCD，OAOD在RtAOD中，OA=OD=2sin60=3，AD=3+3=6又AE=6，ADE为等腰三角形P是DE的中点，APDEDE平面BCD，OADE，APOA，APODOD平面BCD，AP平面BCD，AP平面BCD（2）由（1）知，OADP，APOD，四边形APDO为平行四边形，PD=OA=3，DE=23以点O为坐标原点，以OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，0，3)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，E(3，0，23)，BA=(0，1，3
24、)，AE=(3，0，3)，AC=(0，1，3)设平面ABE的法向量为m=(x，y，z)，则mBA=y+3z=0mAE=3x+3z=0，则可取m=(1，3，1)设平面ACE的法向量为n=(a，b，c)，则nAE=3a+3c=0nAC=b3c=0，则可取n=(1，3，1)，cosm，n=mn|m|n|=1+3155=15设二面角BAEC的平面角为，则sin=1(15)2=265，二面角BAEC的正弦值为26518（12分）在ABC中，A（3，2），B（1，5），点C在直线y3x+3上，若ABC的面积为10，求点C的坐标【解答】解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知，|AB|=3(1)2+(25)
25、2=5，SABC=12|AB|d=125d=10，d4，直线AB的方程为y252=x313，即3x+4y170，C在点直线3xy+30上，设C（x0，3x0+3），d=|3x0+4(3x0+3)17|32+42=|15x05|5=|3x01|=4，3x014，x01或53，C点的坐标为（1，0）或(53，8)19（12分）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn2an（1）求an的通项公式；（2）设cn4an+1，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sn2an，Sn12an1（n2），两式相减得：anan1an，即an=12an1，n2，又当n1时，有S12a1，解得：a11，数列an是首项
26、为1，公比为12的等比数列，故an（12）n1；（2）由（1）知：cn4an+1（12）n3+1，Tn（12）2+（12）1+（12）n3+n=41(12)n112+n8+n23n20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn+13an=Sn+23n2（1）记bn=an13n1，证明：bn是等差数列，并求bn的通项公式；（2）记数列an的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn2022成立的最大正整数n【解答】解：（1）Sn+13an=Sn+23n2，即Sn+1Sn=3an+23n2，an+1=3an+23n2，an+11=3(an1)+23n，an+113n=an13n1+2又b
27、n=an13n1，则bn+1bn2，又b1=a1130=1，数列bn是首项为1，公差为2的等差数列，bn1+（n1）22n1；（2）由（1）得bn2n1，则an=(2n1)3n1+1Tn=130+331+532+(2n1)3n1+n，3Tn=131+332+533+(2n1)3n+3n，由得2Tn=1+231+232+23n1(2n1)3n2n=1+233n13(2n1)3n2n=2+3n(2n1)3n2n=22（n1）3n2n，Tn=n+1+(n1)3n，又Tn+1Tn=n+2+n3n+1n+1+(n1)3n=(2n+1)3n1，nN*，Tn+1Tn=(2n+1)3n10Tn+1Tn，Tn=
28、n+1+(n1)3n是递增数列，且T5=6+435=9782022，T6=7+536=36522022，使不等式Tn2022成立的最大正整数n为521（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，A是C的右顶点，|AF2|=23，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且ADAE=0，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，|OM|=|
29、PN|=12|PF2|，|ON|=|PM|=12|PF1|，四边形OMPN的周长为|PM|+|OM|+|PN|+|ON|PF2|+|PF1|2a4，a2，|AF2|=ac=2c=23，c=3，b=a2c2=22(3)2=1，椭圆C的标准方程为x24+y2=1（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+m，代入x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，则（8km）24（1+4k2）（4m24）0，x1+x2=8km1+4k2，x1x2=4m241+4k2易知A（2，0），ADAE=(x12，y1)(x22，y2)=(x12)(
30、x22)+y1y2=(x12)(x22)+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+(km2)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)(4m24)1+4k2+(km2)(8km)1+4k2+m2+4=0，化简得12k2+16km+5m20，m=65k或m2k（舍去），直线l的方程为y=kx65k，即y=k(x65)，直线l过定点(65，0)当直线l的斜率不存在时，设l：xt（2t2），代入x24+y2=1，解得y=1t24，由ADAE=0得ADAE，|2t|=1t24，解得t=65或t2（舍去），此时直线l过点(65，0)综上，直线l过定点(65，0)22（12分）已知函数f（x）2e
31、xa（x+1）ln（x+1）+（a2）x（1）当a2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0，时，f（x）cosx+1恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）2ex2（x+1）ln（x+1）（x1），则f（x）2ex2ln（x+1）2，令g（x）2ex2ln（x+1）2，则g(x)=2ex2x+1，因为g(x)=2ex2x+1为增函数，g（0）0，所以当x0时，g（0）0，则g（x）单调递增；当1x0时，g（x）0，则g（x）单调递减，故g（x）g（0）0，即f（x）0，所以当a2时，函数f（x）在（1，+）上单调递增；（2）令m（x）f（x）cosx12exa（x+1）ln（
32、x+1）+（a2）xcosx1，x0，当x0，时，f（x）cosx+1恒成立等价于m（x）0恒成立，因为m（x）f（x）+sinx2exaln（x+1）+sinx2，（i）当a0时，m（x）0，函数m（x）在0，上单调递增，所以m（x）m（0）0在0，上恒成立，符合题意；（ii）当a0时，设h（x）2exaln（x+1）+sinx2，x0，则h（x）2exax+1+cosx，h（x）=2ex+a(x+1)2sinx0恒成立，所以h（x）在0，上单调递增，h（0）2a+13a，当3a0即0a3时，h（x）h（0）3a0，函数ym（x）在0，上单调递增，所以m（x）m（0）0在0，上恒成立，所以函数m（x）在0，上单调递增，所以m（x）m（0）0在0，上恒成立，符合题意；当3a0即a3时，h（0）3a0，h（）2ea+11，若h（）0，即a（+1）（2e1）时，h（x）在0，上恒小于等于0，则m（x）在0，上单调递减，m（x）m（0）0，m（x）在0，上单调递减，m（x）m（0）0，不符合题意；若h（）0，即1a（+1）（2e1）时，存在x00，使得h（x0）0，所以当x0，x0）时，h（x）0，则m（x）在0，x0）上单调递减，当x0，时，存在m（x）m（0）0，此时存在m（x）m（0）0不符合题意，所以a的取值范围是（，3
