1、2021-2022学年度第一学期期中调研测试试题高二数学时间120分钟 总分120分（请在答题卡上规定的区域内答题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知直线过点，两点，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线斜率的坐标公式，即得解【详解】设直线的斜率为，则.故选：A2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可变为故其准线方程为故选：C3. 已知圆的一条直径的端点分别是，则
2、该圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程【详解】解：由题意可知，的中点为，又圆的半径为，故圆的方程为故选：B4. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 81【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以的值为1.故选：A5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件
3、求出，的大小，求出顶点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可【详解】由双曲线的方程得，双曲线虚轴长是实轴长的倍，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离.故选：B.6. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）A. B. C 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径，根据直线与圆相切，分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，由求解.【详解】圆即为，圆心是， 当直线斜率不存在时，直线方程为，而，直线与圆相切，当直线斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离为；，解得，所以直线l的方程为，综上：直线l的方程为或，故选：
4、C7. 已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所求的直线方程.【详解】因为直线和直线都过点，可得且，即点和点适合直线，所以过点和点的直线方程是.故选：A.8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为
5、（ ）A. B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.【详解】由关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：D二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列说法错误的是（ ）A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为【答案】AD【解析】【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在
6、直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.故选：AD10. 已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的实轴长为8C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上
7、的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，即可求解【详解】由双曲线C的方程为，得：，对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确；对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确；对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误；故选：ABC.11. 已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（ ）A. 线段PQ的长度的最小值为B. 当PQ最短时，直线PQ的方程是C. 当PQ最短时P的坐标为D. 线段PQ的长度可能是【答案】AC【解析】【分析】当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求
8、解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B【详解】解：当PQ垂直直线时，PQ最短，Q到直线的距离为，故A正确；故PQ的长度范围为，故D错误；设，则，解得，故P为，故C正确；此时直线PQ的方程是，即，故B错误，故选：AC12. 已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）A. 当时，点的轨迹是双曲线.B. 当时，点在圆上运动.C. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.D. 无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.【答案】BD【解析】【分析】设，进而根据题意得，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：设，则 ，所以，整理得， 所以对于
9、A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 两条平行直线和之间的距离是_.【答案】#【解析】【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算.【详解】，所以它们之间的距离为：.故答案为：.14. 已知圆的圆心为
10、为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】求出圆心的坐标和半径，即可得出圆的方程.【详解】圆心C的坐标为，则的中点坐标为，半径，所以以为直径的圆的方程为.故答案为：【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于基础题目.15. 若圆：与圆：（）相交，则正数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由圆心距离小于半径之和，大于半径之差的绝对值可得【详解】两圆和（）相交，圆：的半径和圆心分别是1，圆：（）的半径和圆心分别是，两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和，即.，正数的取值范围是.故答案为：.16. 在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、
11、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是_【答案】#【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，在中应用余弦定理可得，注意其符号判断c的范围，再根据直线与圆相切可得，构造方程求参数c，进而求b.【详解】由题设，又，则，在中，则，即，又直线与相切，则，综上，解得，而，则，所以，可得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：注意应用余弦定理求关于椭圆参数的表达式，再由直线与圆的相切关系得到另一个关于椭圆参数的表达式，联立求参数.四、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题10分，1822题均为12分）17. 已知两条直线，；求为何值时，与（1）平行；（2）垂直.【答案】（1）；（2）
12、.【解析】【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式，求出的值，并代入两直线方程检验即可得解；（2）根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解出的值.【详解】（1）因为，可得，即，解得或，当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线重合，不合题意，舍去.当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线平行，合乎题意.综上所述，；（2）因为，则，解得.18. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.与直线垂直；过点；与直线平行.问题：已知直线过点，且_.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于点，求弦的长.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）【解析】【分析】选：（1）
13、求出直线的斜率，可求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选：（1）根据直线上两点求出直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；选：（1）由直线平行求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长.【详解】方案一选条件.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.方案二选条件.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离
14、为.又圆的半径为，所以.方案三选条件.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即.（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.19. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，经过这三个点的圆记为（1）求边的中线所在直线的一般式方程；（2）求圆的一般方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先利用中点坐标求出的中点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程（2）直接利用圆的一般式，建立三元一次方程组，进一步解方程组求出圆的方程【小问1详解】解：（1）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，设的中点为所以，则所以直线的斜率，则直线的方程为
15、：，整理成一般式为：【小问2详解】解：已知三个顶点坐标分别为，经过这三个点的圆记为，设圆的方程为：，则：解得：，所以圆的方程为20. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在轴上且长轴长为10过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若双曲线与椭圆有公共的焦点，且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线的标准方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆的标准；（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程求得，又以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲
16、线的标准方程【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得，则又，椭圆的标准方程为（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程，得以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，即，整理得，即有又又双曲线与椭圆有公共的焦点，双曲线的标准方程为21 直线与双曲线相较于，两点.（1）若，求线段长；（2）当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线可得，应用韦达定理及弦长公式即可求线段长；（2）联立直线与双曲线可得，注意由判别式求a的范围，应用韦达定理求、关于参数a的表达式，再由为直径的圆经过坐标原点，推出，即可求出参数a.【小问1详解】由题设，联立双曲
17、线并整理得：，所以，则，所以.【小问2详解】联立直线与双曲线得：，整理有，由题意，即，所以，则，若为直径的圆经过坐标原点，则，即，所以，满足要求.22. 已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求， 的值；（2）已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值.【答案】（1）； （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求， 的值；（2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物线的有界性，讨论、求对应线段长最小值.【小问1详解】由题设，抛物线焦点为，则，联立直线与抛物线可得：，则，综上，可得或，又，所以.【小问2详解】由（1）知：，设，所以，又，要使线段长最小，即最小即可，当，即时，则时最小值为；当，即时，则若，则，则时最小值为；若，则，则时最小值为；综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为；【点睛】关键点点睛：第二问，利用两点距离公式构造关于m的二次函数，分类讨论函数对称轴的位置，求对应的最小值.
