1、2020年高考数学督导试卷（5月份）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集、并集运算即可得到结论【详解】解：， ，故选：【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2. 对于实数，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“ab”“acbc”必须有c0这一条件解：主要考查不等式的性质当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条
2、件3. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，用导数法可得，从而有，可得确定选项.【详解】设，所以，当时，当时，所以，所以，所以，所以，排除B，C，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.4. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三棱锥的结构求出 ，由三棱锥与其外接球关系知球直径等于（这个结论不清楚的学生可自行以为棱，把三棱锥补成一个长方体再观察）【详解】由题中条件易得，从而球的半径，体积，故选：C【点
3、睛】本题考查球的体积，解题关键是掌握三棱锥的性质：侧棱两两垂直的三棱锥的外接球直径的平方等于这三条侧棱的平方和5. 已知圆：与直线相交于两点.若为正三角形，则实数的值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，将圆C的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得圆心C到直线的距离dr，解可得m的值，即可得答案【详解】圆：化为标准方程是；则圆心，半径为（其中）；所以圆心到直线的距离为，在等边三角形中得，解得.故选：A【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长公式的应用，关键是掌握圆的标准方程的形式6. 如果函数y
4、3cos（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么|的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数y3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值.【详解】函数y3cos（2x+）的图象关于点中心对称.当时，有.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的简单性质，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属基础题.7. 已知奇函数f（x）在R上是减函数，若af（1og3），bf（），cf（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A. abcB. acbC. bcaD. cab【答案】B【解析】【分析】根据函数
5、的奇偶性和单调性，结合自变量的大小，比较出的大小关系.【详解】由于是奇函数，所以.，而在上递减，故.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查对数运算，考查根据函数单调性比较大小，属于基础题.8. 已知双曲线与抛物线的交点为，直线经过抛物线的焦点，且线段的长度等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对称性知轴，从而在抛物线中，于是有，这样有，代入双曲线方程得关系，从而可求得离心率【详解】由题易知，轴.又由直线经过抛物线的焦点，把代入可得，从而可得，即.又点，即在双曲线上，可得，即，进而，离心率.故选：.【点睛】本题考查求双曲线离心率，解题
6、时要找到关于的关系，为此利用弦长，它在抛物线中等于，又等于，从而用表示出点坐标，代入双曲线方程得所需关系式9. 已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A. 或B. 或或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】先利用导数的几何意义求出当直线与曲线相切时；当时，令，得，再对的值分情况讨论，分段分析方程的实根的个数，从而得到的取值范围.【详解】解：当直线与曲线相切时，设切点为，因为，所以切线的斜率，所以，切点为，代入得，.又时，令，得，即，所以当时，有1个实根，此时有1个实根，满足条件；当时，有2个实根，此时有1个实根，不满足条件；当时，无实根，此时要使有2个实根，应有且，即且
7、.综上所述，实数的取值范围是 或或.故选：B.【点睛】本题主要考查方程的根的问题，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 已知复数（i为虚数单位），复数z满足，则_.【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解.【详解】解：由，得，则.故答案为：.【点睛】此题考查复数的运算和复数的模，属于基础题11. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为_，_【答案】 (1). 5 (2). 8【解析】【分析
8、】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为15，x5；又乙组数据的平均数为16.8，16.8，解得：y8；综上，x、y的值分别为5、8故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题12. 一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为_，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望E_【答案】 (1). 5 (2). 【解析】【分析】根据至少得到一个白球的概率为，可得不含白球的概率为，
9、结合超几何分布的相关知识可得白球的个数，以及随机变量的期望，得到答案【详解】依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为，可得，即，解得，依题意，随机变量，所以故答案为：5，【点睛】本题主要考查了超几何分布中事件的概率，以及超几何分布的期望的求解，其中解答中熟记超几何分布的相关知识，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题13. 若展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为_.【答案】8【解析】【分析】在展开式中，令可得所有项系数和，可解得，再由通项公式可得常数项8【详解】在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，所以的二项展开式中的
10、通项为，令，得，常数项为，故答案为8.【点睛】本题考查了二项式定理属中档题14. 若，且，则 最小值是_【答案】13【解析】【分析】由题得 ，进而，结合基本不等式求解即可【详解】由题得 ，故又，当且仅当x=8,y=5,等号成立故答案为13【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查换元思想，准确计算变形是关键，是中档题15. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.【答案】.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO
11、=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足.（1）求角B的大小；（2）已知，（i）求b及；（ii）求.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合，可得，根据范围可求B的值.（2）（i）由已知利用余弦定理可求b及的值；（ii）利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角公式可求，的值，根据两角
12、差的正弦函数公式即可解得的值.【详解】解：（1），由正弦定理得，且，.（2）（i），.（ii），.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于中档题17. 如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为线段，上的点（不在端点）.（1）当M为中点时，求证：面；（2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面；（3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）取中点E，连结，推导出，从而平面平面，由此能证明面.（2）以A为
13、原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面.（3）假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.推导出，求出平面的法向量，利用向量法能推导出不存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为.【详解】解：（1）证明：取中点E，连结，在四棱锥中，平面，M为中点，平面平面，平面，面.（2）证明：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，平面平面.（3）解：假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，.则，解得，则，设平面的法向量，则，取，得，直线与平面所成角的正弦值为，整理，得，无解，不存在M，使得直线与平面所成角
14、的正弦值为.【点睛】此题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题18. 已知数列前n项和为，数列等差数列，且满足，前9项和为153.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和为.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：时，时，可得；再设的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和.【详解】解：（1）由，可得，时，对也成立，则，由数列等差数列，公差设d，满足，前9项和为153，可得，即，解得，则，；（2），则前n项和.【点睛】此题考查等
15、差数列的基本量计算，考查裂项相消求和法，考查计算能力，属于基础题19. 已知椭圆C：的离心率，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为.（）求椭圆C的方程；（）过点A作直线与椭圆相交于点B，则轴上是否存在点P，使得线段，且？若存在，求出点P坐标；否则请说明理由.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）由椭圆C上的点到其左焦点的最大值为，可得，结合离心率解方程组即可得解；（）先讨论直线的斜率时，可得P，讨论直线的斜率不为0时，设为直线的方程为：，与椭圆联立得点B，进而得AB的中垂线方程，令可得点P，再由求解方程即可.【详解】（）由题可知，故设则又椭圆C上的点到其左焦点的最大值为可判定那一点的坐标
16、为a=2，椭圆C的方程为（）由，可知点P在线段AB的中垂线上，由题意知直线的斜率显然存在设为.当直线的斜率时，则B(2,0).设.由，解得，又.当直线的斜率不为0时，设为直线的方程为：.联立得：.有：，解得，即.AB的中点为，线段AB的中垂线为：，令，得.即.解得，此时.综上可得或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力及向量的坐标运算，属于中档题.20. 已知函数.（1）当时，求函数在的单调性；（2）当且时，求函数在上的最小值；（3）当时，有两个零点，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数，结合
17、导数的符号，即可求得函数的单调性；（2）由，求得，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由，根据题意，得到，两式相减，令，得到函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，又，在上单调递增.（2）由，则，（1）当时，此时图数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，即；（2）当时，令，当时，即当，此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，即；综上所得.（3）证明：根据题意，是函数的两个零点，.两式相减，可得，即，则，.令，则.记，则.又，恒成立，故，即.可得，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
