1、课时规范练55极坐标方程与参数方程的应用课时规范练A册第39页 基础巩固组1.(2019河北唐山三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos+4=1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与x轴交于点A,与直线x=4交于点B,点P为曲线C上的动点,求PAB的面积的最大值.解(1)曲线C的普通方程为x24+y23=1,直线l的直角坐标方程为x-y-1=0.(2)由题意知,A(1,0),B(4,3),所以|AB|=32.设点P(2cos ,3sin
2、),则点P到AB的距离为d=|2cos-3sin-1|2=|7cos(+)-1|2,所以PAB的面积S=12|AB|d=32|7cos(+)-1|3(7+1)2,即PAB的面积S的最大值为3(7+1)2.2.(2019山东淄博一模,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=tcos,y=tsin(t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-4=4cos -2sin .(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB的长度为25,求直线l的普通方程.解(1)将x=cos,y=sin代入曲线C极坐标方程得,曲线C的直角坐
3、标方程为x2+y2-4=4x-2y,即(x-2)2+(y+1)2=9.(2)将直线的参数方程代入曲线方程(tcos -2)2+(tsin +1)2=9,整理得t2-4tcos +2tsin -4=0,设点A,B对应的参数为t1,t2,解得t1+t2=4cos -2sin ,t1t2=-4.则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(4cos-2sin)2+16=25,化简得3cos2-4sin cos =0,由00,t为参数),曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与x轴交于点P,与曲线C交于点A,B,且|PA|PB|=
4、1,求实数m的值.解(1)直线l的参数方程是x=32t+m,y=12t(m0,t为参数),消去参数t可得x=3y+m.由=2cos ,得2=2cos ,C的直角坐标方程x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.(2)把x=32t+m,y=12t(t为参数),代入x2+y2=2x,得t2+(3m-3)t+m2-2m=0.由0,解得-1m0,m0,实数m=1+2或m=1.4.(2017全国2,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的
5、直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.5.(2019河北唐山一模,22)在平面直角坐标系
6、xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(其中t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=4cos .(1)求l和C的直角坐标方程;(2)若l与C相交于A,B两点,且|AB|=8,求.解(1)当=2时,l:x=1;当2时,l:y=(x-1)tan .由sin2=4cos 得2sin2=4cos ,所以C的直角坐标方程y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(sin2)t2-(4cos )t-4=0,则t1+t2=4cossin2,t1t2=-4sin2.因为|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t
7、1t2=4sin2=8,所以sin =22或-22.因为0,所以sin =22,故=4或34.6.(2019山东青岛二模,22)已知平面直角坐标系xOy,直线l过点P(0,3),且倾斜角为,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2-4cos-3-1=0.(1)求直线l的参数方程和圆C的标准方程;(2)设直线l与圆C交于M、N两点,若|PM|-|PN|=2,求直线l的倾斜角的值.解(1)因为直线l过点P(0,3),且倾斜角为,所以直线l的参数方程为x=tcos,y=3+tsin(t为参数).因为圆C的极坐标方程为2-4cos-3-1=0,所以2-2cos -23sin
8、-1=0.所以圆C的普通方程为x2+y2-2x-23y-1=0,圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.(2)直线l的参数方程为x=tcos,y=3+tsin,代入圆C的标准方程得(tcos -1)2+(tsin )2=5.整理得t2-2tcos -4=0.设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2cos ,t1t2=-40,故t1,t2异号.所以|PM|-|PN|=|t1+t2|=|2cos |=2,cos =22.因为00),曲线C2:x=bcos,y=b+bsin(为参数,实数b0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=0,02与C1交于O,A两
9、点,与C2交于O,B两点.当=0时,|OA|=2;当=2时,|OB|=4.(1)求a,b的值;(2)求2|OA|2+|OA|OB|的最大值.解(1)由曲线C1:x=a+acos,y=asin(为参数,实数a0),化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,展开为x2+y2-2ax=0,其极坐标方程为2=2acos ,即=2acos ,由题意可得当=0时,|OA|=2,a=1.曲线C2:x=bcos,y=b+bsin(为参数,实数b0),化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,展开可得极坐标方程为=2bsin ,由题意可得当=2时,|OB|=4,b=2.(2)由(1)可得C1,C2的极坐标方程分别为
10、=2cos ,=4sin .2|OA|2+|OA|OB|=8cos2+8sin cos =4sin 2+4cos 2+4=42sin2+4+4.2+44,54,42sin2+4+4的最大值为42+4,当2+4=2,即=8时取到最大值.10.(2019陕西第二次质检,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:x2+y2-x=0,C2:x2+y2-2y=0.(1)以过原点的直线的倾斜角为参数,写出曲线C1的参数方程;(2)直线l过原点,且与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B不是原点),求|AB|的最大值.解(1)如图,C1:x2+y2-x=0,即x-122+y2=14是以C112,0为圆心,12为半径,且过原点的圆,设P(x,y)为过原点的直线与C1的交点,连接PC1,由圆的对称性,不妨设PC1x=(0),则x=12+12cos,y=12sin.由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0,而=2,所以曲线C1的参数方程为x=12+12cos2,y=12sin2(为参数,且00),2=2sin (20),故|AB|=|12|=|2sin cos |=5|sin()|5,其中tan =12.故当|sin()|=1时,等号成立.综上,|AB|的最大值为5.
