1、第二节 导数与函数的单调性 了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).导数与函数的单调性的关系 函数 y=f(x)在某个区间内可导,(1)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内 单调递增;(2)若 f(x)0(0(0,在(-2,-ln 2)上,f(x)0,f(x)的单调增区间是(-,-2)和(-ln 2,+),单调减区间是(-2,-ln 2).(2)令 g(x)=f(x)=ex(cos x-sin x)-1(),则 g(x)=-2exsin x(),当 0 x 时,ex0,sin x0,所以 g(x)0,即 g(x)在 上单调
2、递减,所以当 0 x 时,f(x)f(0)=0,所以f(x)在 上单调递减.方法技巧 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 y=f(x)的定义域;(2)求 f(x);(3)解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式 f(x)0.由 f(x)0,得 xln 2.由 f(x)0,得 0 x0 时,a2.当 aa2-4 且 a0 在(0,+)上恒成立,所以 f(x)在(0,+)上单调递增;当 a2 时,方程 x2-ax+1=0 的两个根为 x1=-,x2=-,因为 a2a2-4 且 a2,所以 x1,x2均为正数,且 x1x2.所以 x(-)或 x(-)时,f(x)0,
3、f(x)单调递增,x(-)时,f(x)2 时,f(x)的单调递增区间为(-)和(-),单调递减区间为-,-.(2)函数 f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若 a=0,则 f(x)=e2x,则 f(x)在(-,+)上单调递增.若 a0,则由 f(x)=0,得 x=ln a.当 x(-,ln a)时,f(x)0.故 f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.若 a0,则由 f(x)=0,得 x=ln(-).当 x(-(-)时,f(x)0.故 f(x)在(-(-)上单调递减,在(-)上单调递增.综上,当 a=0 时,
4、f(x)在(-,+)上单调递增;当 a0 时,f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增;当 a0),若 a0,则 f(x)0 在(0,+)上恒成立,则 f(x)在(0,+)上单调递增;若 a0,f(x)单调递增,x(-)时,f(x)0,f(x)单调递减.综上,当 a0 时,f(x)在(0,+)上单调递增;当 a0 在 R 上恒成立,当 a0 时,令 f(x)=0,得 x=ln a,易得 f(x)的单调增区间是(ln a,+),单调减区间是(-,ln a).综上所述,当 a0 时,f(x)的单调增区间是(-,+);当 a0 时,f(x)的单调增区间是(ln a,+),单
5、调减区间是(-,ln a).函数单调性的应用 典例 4(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意的 xR,f(x)+f(x)1 恒成立,则不等式exf(x)ex+1 的解集是()A.x|x0 B.x|x0 C.x|x1 D.x|x-1 或 0 x1,g(x)=ex(f(x)+f(x)-1)0,g(x)在 R 上是增函数.又g(0)=e0f(0)-e0-1=0,exf(x)ex+1exf(x)-ex-10g(x)0g(x)g(0)x0,故选 A.(2)由 f(x)=x3-2x+ex-,得 f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),所以 f(x)是 R 上的奇函数,又 f(x)=
6、3x2-2+ex+3x2-2+2 =3x20,当且仅当 x=0 时取等号,所以 f(x)在其定义域内单调递增,所以不等式 f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)-f(2a2)=f(-2a2)a-1-2a2,解得-1a ,故实数 a 的取值范围是-.典例 5 已知函数 f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a0.(1)若函数 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围;(2)若函数 h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求 a 的取值范围.解析(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x(0,+),所以 h(x)=-ax-2,x(0,+).因为 h(x)在(
7、0,+)上存在单调递减区间,所以当 x(0,+)时,-ax-2 -,x(0,+)有解.令 G(x)=-,x(0,+),所以只要 aG(x)min 即可.而 G(x)=(-)-1,x(0,+),所以 G(x)min=-1,所以 a-1 且 a0.(2)因为 h(x)在1,4上单调递减,所以当 x1,4时,h(x)=-ax-20 恒成立,即 a -恒成立,x1,4,所以 a(-),x1,4.因为 x1,4,所以 ,而 -=(-)-1,所以(-)=-(此时 x=4),所以 a-且 a0.探究 1(变条件)本例(2)中,若 h(x)在1,4上存在单调递减区间,求 a 的取值范围.解析 h(x)在1,4
8、上存在单调递减区间,则 h(x)-有解,又当 x1,4时,(-)=-1,所以 a-1,又 a0,所以 a 的取值范围是(-1,0)(0,+).探究 2(变条件)本例(2)中,若函数 h(x)在1,4上不单调,求 a 的取值范围.解析 h(x)在1,4上不单调,h(x)=0 在(1,4)上有解,即 a=-在 x(1,4)上有解,令 m(x)=-,x(1,4),则-1m(x)0(或 f(x)0(或 f(x)min0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性,区间 I 上含有参数时,可先求出 f(x)的单调区间,令 I是其单调区间的子集,
9、从而求出参数的取值范围.3-1 已知函数 f(x)=ln x+ax2-x-m(mR)为增函数,那么实数 a 的取值范围是 .答案 )3-2 已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f(x),则不等式 f(x2)+的解集为 .答案(-,-1)(1,+)解析 由题意构造函数 F(x)=f(x)-x,则 F(x)=f(x)-,f(x),F(x)=f(x)-0,即函数 F(x)在 R 上单调递减.f(x2)+,f(x2)-f(1)-,F(x2)1,即 x(-,-1)(1,+).A 组 基础题组 1.函数 y=x2-ln x 的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.
10、(1,+)D.(0,2)答案 A 2.函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.(1,+)D.(-,0)(1,+)答案 A 3.函数 f(x)=3+xln x 的单调递减区间是()A.()B.()C.(-)D.()答案 B 4.若 f(x)=x2-aln x 在(1,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1 C.(-,2)D.(-,2 答案 D 由 f(x)=x2-aln x,得 f(x)=2x-,f(x)在(1,+)上单调递增,2x-0 在(1,+)上恒成立,即 a2,a2.5.下列函数在(0,+)上为增函数的是()A.f
11、(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 答案 B 对于 A,f(x)=sin 2x 的单调递增区间为 -(kZ),f(x)在(0,+)上不单调;对于 B,f(x)=ex(x+1),当 x(0,+)时,f(x)0,函数 f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于 C,f(x)=3x2-1,令 f(x)0,得 x 或 x0,得 0 x0)的单调递减区间是(0,4),则 m=.答案 7.函数 f(x)=ex-2x 的单调递增区间是 .答案(ln 2,+)8.已知函数 f(x)=(x2+1)ln x-2x+2,x1,求 f(x)的单调递增区间
12、.解析 x1,f(x)=2xln x+()-20,当且仅当 x=1 时取等号.f(x)在1,+)上单调递增.9.已知函数 f(x)=aln x+x2-ax(aR),若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.解析 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+2x-a=-,因为 x=3 是 f(x)的极值点,所以 f(3)=-=0,解得 a=9,所以 f(x)=-=-.由 f(x)0,得 0 x3;由 f(x)0,得 x0,令 g(x)=x2+ln x-1,x(0,+),则 g(x)=2x+0,x(0,+),函数 g(x)在(0,+)上单调递增,且 g(1)=0,f(1)=0,且 x
13、=1 是 f(x)=0 的唯一解.当 0 x0;当 x1 时,f(x)0),则 f(x)=-,x0,令 g(x)=ex-ex,则 g(x)=ex-e,令 g(x)=0,得 x=1,当 0 x1 时,g(x)1 时,g(x)0,函数 y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当 0 xg(1)=0,当 x1 时,g(x)g(1)=0,x(0,+),g(x)0,即 exex,当 0 x1 时,x-10,f(x)1 时,x-10,f(x)0,函数 y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.12.已知函数 f(x)=x-+1-aln x,a0,讨论 f(x)的单调性
14、.解析 由题意知,f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1+-=-,a0.设 g(x)=x2-ax+2,a0,方程 g(x)=0 的判别式为=a2-8.当 0,即 00 都有 f(x)0,此时 f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当 0,即 a2 时,方程 g(x)=0 有两个不同的实数根,即 x1=-,x2=-,0 x10,得 0 xx2.由 f(x)0,得 x1xx2.所以 f(x)在(-)上单调递增,在(-)上单调递减,在(-)上单调递增.综上,当 02 时,f(x)在(-),(-)上单调递增,在(-)上单调递减.B 组 提升题组 1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数,f
15、(x)为其导函数,若对于任意实数 x,都有 f(x)-f(x)0 成立,则()A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)0,所以 g(x)g(2 016),即 ,所以 ef(2 015)f(2 016),故选 A.2.已知 a0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex,若 f(x)在-1,1上是单调递减函数,则 a 的取值范围是()A.()B.()C.)D.()答案 C f(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=x2+(2-2a)x-2aex,由题意知当 x-1,1时,f(x)0 恒成立,即 x2+(2-2a)x-2a0 在 x-1,1上恒成立.令 g(x)=x2+(
16、2-2a)x-2a,则有 -即-解得 a .3.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 xR,f(x)2,则 f(x)2x+4 的解集为 .答案(-1,+)解析 设 g(x)=f(x)-2x-4,则 g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,又 g(x)=f(x)-20,则 g(x)为增函数.解 g(x)0,即 g(x)g(-1),得 x-1.4.已知函数 f(x)=-ln x 在(1,+)上是减函数,求实数 m 的取值范围.解析 f(x)=-ln x 在(1,+)上是减函数,f(x)=-=-0 在(1,+)上恒成立,则 2m-20),令 f(x)=0,得 x=ea-11,易知
17、 f(x)为增函数,当 1a2 时,1ea-1e,当 1xea-1 时,f(x)0,当 ea-1x0,f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增,当 a2 时,ea-1e,易知 f(x)0,f(x)在1,e上单调递减.综上,当 1a2 时,f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增;当 a2 时,f(x)在1,e上单调递减.6.已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论 f(x)的单调性.解析 f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).设 a0,则当 x(-,1)时,f(x)0.所以 f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,设 aa-,则 ln(-2a)0;当 x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以 f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增.若 a1,故当 x(-,1)和(ln(-2a),+)时,f(x)0;当 x(1,ln(-2a)时,f(x)a-时,f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增;当 a=-时,f(x)在(-,+)上单调递增;当 a-时,f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(-,1),(ln(-2a),+)上单调递增.
