1、第3讲圆周运动一、匀速圆周运动的运动学分析1.匀速圆周运动:物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等。匀速圆周运动是加速度大小不变的变加速运动。2.描述圆周运动的物理量定义、意义公式、单位(1)描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)(2)是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切(1)v=st=2rT(2)单位:m/s(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量()(2)中学不研究其方向(1)=t=2T(2)单位:rad/s(1)周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)(2)转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)(1)T=2rv=2,单位:s(2)n的单位:r/s、r/min(3)f=1T,单位:Hz(1)
2、描述速度方向变化快慢的物理量(an)(2)方向指向圆心(1)an=v2r=2r(2)单位:m/s2(1)v=r=2rT=2rf(2)an=v2r=r2=v=42T2r=42f2r二、匀速圆周运动的向心力1.作用效果:向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小。2.大小:F=mv2r=m2r=m42rT2=mv=m42f 2r。3.方向:始终沿半径方向指向圆心,向心力是变力。4.来源:向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分力提供。三、离心现象当F=mr2时,物体做匀速圆周运动;当F=0时,物体沿切线方向飞出;当FRB,故vAvB,A正确;F向=mgta
3、n=m2R,由于RARB,故ARB,故TATB,C错;FN=mgsin,故FNA=FNB,由牛顿第三定律知,D错。考点一传动装置中各量之间的关系1.同轴传动:固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。2.皮带或摩擦传动:不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。3.在讨论v、r三者关系时,应采用控制变量法,即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系。1-1(多选)如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是()A.从动轮做顺时针转动B.从动轮做逆时针转动C.从动轮的转速为r
4、1r2nD.从动轮的转速为r2r1n答案BC根据传动装置的特点可知,从动轮应做逆时针转动,故选项B对;因是皮带传动,皮带轮边缘上各点线速度大小相等,即 r12n=r22n,所以从动轮的转速为n=r1r2n,选项C对。1-2如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样,它们的边缘有三个点A、B、C。在自行车正常骑行时,下列说法正确的是()A.A、B两点的角速度大小相等B.B、C两点的线速度大小相等C.A、B两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比D.B、C两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比答案D由题图知A、B两点线速度相等,B、C两点角速度相等,A、B选项错误;向
5、心加速度aA=v2RA,aB=v2RB,aAaB=RBRA,C错误;aB=2RB,aC=2RC,aBaC=RBRC,D正确。考点二圆周运动的动力学分析一、向心力向心力是按力的作用效果命名的,可以由弹力、摩擦力等各种力提供,也可以由几个力的合力或某个力的分力提供,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。二、匀速圆周运动的常见模型情景图形向心力来源绳拉球在光滑水平面上做匀速圆周运动拉力(或弹力)物块在筒内壁上做匀速圆周运动筒壁对物块的弹力物体做圆锥摆运动拉力和重力的合力火车转弯时重力和支持力的合力汽车通过拱形桥最高点时重力和支持力的合力2-1在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图所示,
6、在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。设内外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于() A.gRhL B.gRhdC.gRLh D.gRdh答案B汽车做匀速圆周运动,向心力由重力与路面对汽车的支持力的合力提供,且向心力的方向水平,向心力大小F向=mg tan ,根据牛顿第二定律:F向=mv2R,tan =hd,解得汽车转弯时的车速v=gRhd,B对。2-2图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施,它的基本装置是将绳子上端固定在转
7、盘的边缘上,绳子的下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO转动,设绳长l=10 m,质点的质量m=60 kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0 m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角=37(不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,取g=10 m/s2,sin 37=0.6,cos 37=0.8)求质点与转盘一起做匀速圆周运动时:(1)绳子拉力的大小;(2)转盘角速度的大小。答案(1)750 N(2)32 rad/s解析(1)如图所示
8、,对人和座椅进行受力分析F cos 37-mg=0F=mgcos37=750 N(2)根据牛顿第二定律有mg tan 37=m2RR=d+l sin 37=gtan37R=32 rad/s2-3如图,一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点,下端系一质量 m=1.0 kg的小球(可视为质点)。现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放,当它经过B点时绳恰好被拉断,小球平抛后落在水平地面上的C点。地面上的D点与OB在同一竖直线上,已知绳长L=1.0 m,B点离地高度 H=1.0 m,A、B两点的高度差 h=0.5 m,重力加速度g取10 m/s2,不计空气影响,求:(1)地面上D、C两点间的距离s;(2)轻
9、绳所受的最大拉力大小。答案(1)2 m(2)20 N解析(1)小球从A到B过程机械能守恒,有mgh=12mvB2小球从B到C做平抛运动,在竖直方向上有H=12gt2在水平方向上有s=vBt解得s=2 m(2)小球下摆到达B点时,绳的拉力和小球重力的合力提供向心力,有F-mg=mvB2L解得F=20 N根据牛顿第三定律知轻绳所受的最大拉力大小为20 NA组基础巩固 1.关于匀速圆周运动的说法,正确的是()A.匀速圆周运动是匀速运动B.匀速圆周运动是匀变速运动C.某个恒力作用下质点也可以做匀速圆周运动D.做匀速圆周运动的物体所受合力必须是变力答案D做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心,大小不变,方
10、向时刻改变,合力是变力所以加速度时刻改变,不是匀变速运动,A、B、C错误。2.(2018西城期末)计算机硬盘上的磁道为一个个不同半径的同心圆,如图所示。M、N是不同磁道上的两个点。当磁盘转动时,比较 M、N两点的运动,下列判断正确的是()A.M、N的线速度大小相等 B.M、N的角速度大小相等C.M点的线速度大于N点的线速度D.M点的角速度小于N点的角速度答案B由角速度定义式=t=2T可知,M、N在同一圆盘上,周期T相同,则角速度相同;v=R,因RNRM,所以vNvM,A、C、D错误,B正确。3.(2019朝阳期中)一辆汽车在水平公路上转弯,沿曲线由M向N行驶,速度逐渐增大。如图分别画出了汽车转
11、弯时所受合力F的四种方向,可能正确的是()答案B曲线运动合力方向指向轨迹凹侧,因为从M向N行驶v增大,速度和力的方向成锐角,故选B。4.(2018师大附中期中)如图所示,汽车在一水平公路上转弯时,汽车的运动可视为匀速圆周运动。下列关于汽车转弯时的说法正确的是()A.汽车处于平衡状态B.汽车的向心力由重力提供C.汽车的向心力由摩擦力提供D.汽车的向心力由支持力提供答案C汽车做匀速圆周运动,合力不为零,处于非平衡状态,故A错误;汽车所受的重力和支持力平衡,由静摩擦力提供向心力,故B、D错误,C正确。5.(2018东城期末)如图所示为“感受向心力”的实验,用一根轻质细绳,一端拴着一个小球,在光滑桌面
12、上抡动细绳,使小球做匀速圆周运动,通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是()A.只减小旋转角速度,拉力增大B.只加快旋转角速度,拉力减小C.只更换一个质量较大的小球,拉力增大D.突然放开绳子,小球仍做曲线运动答案C拉力提供小球做圆周运动的向心力,F向=m2r,当增大,m和r不变时,F向增大,拉力增大,当减小时,拉力减小,A、B错误;只更换一个质量较大的小球,则F向增大,拉力增大,C正确;突然放开绳子,小球将以放开绳子瞬间的速度做匀速直线运动,D错误。6.(多选)(2018四中期中)如图所示,细绳一端固定,另一端系一小球。给小球一个合适的初速度,小球便可在水平面内做匀速圆周运动,这样就构成了一个
13、“圆锥摆”。设细绳与竖直方向的夹角为,如果变大,则()A.细绳对小球的拉力变大B.小球的向心加速度变大C.小球运动的速度增大D.小球运动的周期增大答案ABC对小球受力分析如图所示。小球受重力和拉力两个力作用,做匀速圆周运动,竖直方向上拉力的分力等于重力,T cos =mg,得T=mgcos,如果变大,则cos 变小,T变大,故A正确; 向心力指向圆心,重力、拉力的合力提供向心力,合力的大小为:F合=mg tan ,如果变大,则tan 变大,向心力变大;根据牛顿第二定律有F合=ma,可知变大,向心加速度也变大,故B正确;根据牛顿第二定律有mg tan =mv2Lsin(L为绳长),解得v=gLt
14、ansin,如果变大,则tan 和sin 均变大,小球运动的速度增大,故C正确;根据牛顿第二定律有mg tan =m42T2L sin ,解得T=42Lcosg,如果变大,则cos 变小,小球运动的周期减小,故D错误。7.火车转弯时,如果铁路弯道的内外轨一样高,外轨对轮缘(如图a所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图b所示),但是靠这种办法得到向心力,铁轨和车轮极易受损。在修建铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨(如图c所示),当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g,以下说法中正确的是()A.该弯道的半径R=v2gB.当火车质量改变
15、时,规定的行驶速度也将改变C.当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压D.当火车速率小于v时,外轨将受到轮缘的挤压答案C设轨道平面与水平面间夹角为,则G与N的合力提供向心力,mgtan =mv2R,R=v2gtan,v=gRtan,v与火车质量无关,A、B项错误;当火车速率大于v时,所需F向增大,外轨对轮缘有挤压;火车速率小于v时,内轨对轮缘有挤压,C正确,D错误。8.(多选)(2018首师大附中月考)细线系着小球悬于O点,线长为l,在O点正下方34l处固定一钉子P,把线拉直直至水平,无初速度释放,当线碰到钉子时()A.小球的向心加速度增大B.小球的速度增大C.小球的角速度增大D.线的拉力增大
16、答案ACD小球运动至最低点时,线与钉子相碰,会使小球做圆周运动的半径r减小,而此时小球的速度大小不变,故B错误;由an=v2r知,此时小球的向心加速度增大,A正确;由=vr知,此时小球的角速度增大,故C正确;由F=mg+mv2r知,此时线对小球的拉力增大,故D正确。9.某同学设计了一个粗测玩具小车经过凹形桥模拟器最低点时的速度的实验。所用器材有:玩具小车(可视为质点)、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R=0.20 m)。将凹形桥模拟器静置于托盘秤上,如图所示,托盘秤的示数为1.00 kg;将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时,托盘秤的示数为1.40 kg;将小车从凹形桥模拟器某一位
17、置释放,小车经过最低点后滑向另一侧,此过程中托盘秤的最大示数为1.80 kg,凹形桥模拟器与托盘间始终无相对滑动。取重力加速度g=10 m/s2,求:(1)玩具小车的质量m;(2)玩具小车经过凹形桥模拟器最低点时对其压力的大小F;(3)玩具小车经过最低点时速度的大小v。答案(1)0.40 kg(2)8.0 N(3)2 m/s解析(1)由题中数据可知小车的质量m=1.40 kg-1.00 kg =0.40 kg(2)由题中数据可知凹形桥模拟器的质量m0 =1.00 kg设秤盘对凹形桥模拟器的支持力为N支,凹形桥模拟器对秤盘的压力为N压,根据力的平衡条件,对凹形桥模拟器有F+m0g=N支根据牛顿第
18、三定律可得N支=N压而N压=m示g其中,m示=1.80 kg代入相关数据可得F=8.0 N(3)小车通过最低点时,凹形桥模拟器对小车的支持力F与小车重力的合力提供向心力,有F-mg=mv2R根据牛顿第三定律可得F= F代入相关数据可得v=2 m/sB组综合提能 1.某石英表中的分针与时针可视为做匀速圆周运动,分针的长度是时针长度的1.5倍,则下列说法中正确的是()A.分针的角速度与时针的角速度相等B.分针的角速度是时针的角速度的60倍C.分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍D.分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍答案C分针的周期为T分=1 h,时针的周期为T时=12 h,
19、两者周期之比为T分T时=112,由=2T 知分针的角速度是时针的12倍,故A、B错误;由v=r得,分针与时针端点的线速度之比为v分v时=分r分时r时=181,即分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍,故C正确;a分a时=v分2r分v时2r时=2161,故D错误。2.(2018首师大附中月考)一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上的A点的曲率圆定义为:通过A点和曲线上邻近A点两侧的两点作一圆,当邻近的另外两点无限接近A点时,此圆的极限位置叫做曲线A点处的曲率圆,其曲率圆半径R叫做A点的曲率半径。现将一物体
20、沿与水平面成角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。不计空气阻力,重力加速度为g,则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()甲乙A.v02g B.v02 sin2gC.v02 sincos2g D.v02 cos2g答案D斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动,水平方向做vx=v0 cos 的匀速直线运动,竖直方向以初速度vy=v0 sin 做匀减速直线运动,到最高点P时,竖直方向速度为零,则其速度为vP=vx=v0 cos 且方向水平向右,再由题意知物体在P点的运动可看做速度为vP=v0 cos ,运动半径为r的圆周运动,此时重力提供向心力,则有mg=m(v0 cos)2r,可得r=v02 cos2g,
21、故D正确。3.图示为某种过山车游乐项目。已知车内某人的质量为m,轨道A、B两点的曲率半径分别为R1和R2,过山车经过A点时的速度大小为vA,人和车的大小相对轨道半径可以忽略不计,不计摩擦及空气阻力,重力加速度为g。当过山车无动力运行时,下列说法正确的是()A.该人在A点受到的支持力大小为mvA2R1B.过山车经过B点时的最小速度为gR2C.从A点运动到B点的过程中,过山车(含人)的动量守恒D.从A点运动到B点的过程中,过山车(含人)的机械能守恒答案D在A点对人进行受力分析,根据牛顿第二定律,有F-mg=mvA2R1,得F=mvA2R1+mg,选项A错误;因为在B点过山车有轨道支撑,合力最小可以
22、为零,所以过山车的最小速度为零,选项B错误;从A点到B点的过程,过山车(含人)所受合力不为零,动量不守恒,选项C错误;由于支持力不做功,没有动力,只有重力做功,过山车(含人)的机械能守恒,选项D正确。4.质量为m的物体,沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下,半球形金属壳竖直放置,开口向上,滑到最低点时速度大小为v,若物体与金属壳内壁之间的动摩擦因数为,重力加速度为g,则物体在最低点时,下列说法正确的是()A.受到的向心力为mg+mv2RB.受到的摩擦力为mv2RC.受到的摩擦力为mgD.受到的合力方向斜向左上方答案D物体受力如图所示,因此受到的合力方向斜向左上方,D正确,到达最低点时,根据圆周运
23、动的特点,向心力F向=mv2R,A错误;而F向=FN-mg,得支持力FN=mg+mv2R,则物体受到的摩擦力f=(mg+mv2R),因此B、C错误。5.如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。重力加速度为g,求:(1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;(2)当物块在A点随筒匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度。答案(1)mgHR2+H2mgRR2+H2(2)2gHR解析(1)物块静止时,分析受力如图所示。由平衡条件有Ff=mg sin FN=mg
24、 cos 再由图中几何关系有cos =RR2+H2sin =HR2+H2故有Ff=mgHR2+H2FN=mgRR2+H2(2)分析此时物块受力如图所示,由牛顿第二定律有mg tan =mr2其中tan =HR,r=R2可得=2gHR6.(2018海淀期中)暑假里,小明去游乐场游玩,坐了一次名叫“摇头飞椅”的游艺机,如图甲所示,该游艺机顶上有一个半径为4.5 m的“伞盖”,“伞盖”在转动过程中带动下面的悬绳转动,其示意图如图乙所示。“摇头飞椅”高O1O2=5.8 m,绳长5 m。小明挑选了一个悬挂在“伞盖”边缘的最外侧的椅子坐下,他与座椅的总质量为40 kg。小明和椅子的转动可简化为如图乙所示的
25、圆周运动。在某段时间内,“伞盖”保持在水平面内稳定旋转,绳与竖直方向夹角为37。g取10 m/s2,sin 37=0.6,cos 37=0.8,在此过程中,求:(1)座椅受到绳子的拉力大小;(2)小明运动的线速度大小;(3)小明随身带的玻璃球从座椅上不慎滑落,求落地点与游艺机转轴(即图乙中O1点)的距离。(结果保留两位有效数字)答案(1)500 N(2)7.5 m/s(3)8.7 m解析(1)小明和座椅做圆周运动的向心力沿水平方向,由平行四边形定则得座椅受到绳子的拉力大小T=mgcos37 =500 N(2)由牛顿第二定律有mg tan 37=mv2R0其中R0=4.5 m+sin 375 m=7.5 m解得v=7.5 m/s(3)由几何关系知,座椅离地高度h=O1O2-L cos 37=5.8 m-4 m=1.8 m由平抛运动规律得x=vth=12gt2解得x=4.5 m由勾股定理得,落地点与游艺机转轴的距离r=R02+x28.7 m
