1、4 平面向量的坐标考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.重点：1.平面向量坐标的定义及坐标表示2.平面向量坐标表示的向量运算难点：向量与坐标关系的理解.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点 O 为起点作OP a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得OP x iyj，因此a.
2、我们把实数对叫做向量 a 的坐标，记作 a.x iyj(x，y)(x，y)2平面向量线性运算的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则类别坐标运算语言表述向量的加法坐标表示ab向量的减法坐标表示ab(x1x2，y1y2)向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的实数与向量积坐标表示a实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的有向线段的坐标表示设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABOB OA 一个向量的坐标等于(x1x2，y1y2)和与差(x1，y1)乘积(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)其终点的相应坐标减去始点的相应坐标3.向量平行的坐标表示设 a(x1，
3、y1)，b(x2，y2)(1)当 ab 时，有.(2)当 ab 且 b 不平行于坐标轴，即 x20，y20 时，有.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们x1y2x2y10 x1x2y1y2成比例平行双基自测1给出下列说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1 B2C3 D4解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误，易知正确，故选 C.答案：C2若向量 a(3,2)，b(0，1)，则向量 2ba
4、 的坐标是()A(3，4)B(3,4)C(3,0)D(3，4)解析：2ba2(0，1)(3,2)(03，22)(3,0)答案：C3已知向量 a(4,2)，向量 b(x,3)且 ab，则 x 等于_解析：ab，432x0，x6.答案：6探究一 平面向量的坐标运算典例 1 已知 a(1,2)，b(3,4)，求向量 ab，ab,3a4b 的坐标解析 ab(1,2)(3,4)(2,6)；ab(1,2)(3,4)(4，2)；3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10)1向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行 2若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正
5、确使用运算法则 1已知点 A(1,2)，B(2,8)及AC 13AB，DA 13BA.求点 C，D 和CD 的坐标解析：A(1,2)，B(2,8)，AB(2,8)(1,2)(3,6)，AC 13AB(1,2)，DA 13BA 13AB(1,2)则OC OA AC(1,2)(1,2)(0,4)，OD OA AD OA DA(1,2)(1,2)(2,0)C，D 的坐标分别为(0,4)和(2,0)因此CD(2，4)探究二 平面向量线性运算的坐标表示典例 2(1)已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，则AB _，AC _，AB AC _，AB AC _，2AB 12AC _.(2
6、)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，c(3，2)，则 a2b_，(2ab)(b2c)_.解析(1)因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)所以AB(7,5)(4,6)(3，1)；AC(1,8)(4,6)(3,2)；AB AC(3，1)(3,2)(0,1)；AB AC(3，1)(3,2)(6，3)；2AB 12AC 2(3，1)12(3,2)(6，2)32，1 92，1.(2)由 a(1,2)，b(2，3)，c(3，2)，得 a2b(1,2)2(2，3)(14,26)(5,8)(2ab)(b2c)2a2b2c2(abc)2(123,232)2(6,3)(12,6)答案(1)(3，1)(
7、3,2)(0,1)(6，3)92，1 (2)(5,8)(12,6)(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算要注意三角形法则及平行四边形法则的应用熟练掌握公式是解题的关键(2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示2已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BC b，CA c，且CM 3c，CN 2b.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求点 M，N 的坐标及MN 的坐标解析：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，
8、42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5.解得m1，n1.(3)CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)MN(9，18)探究三 向量共线的坐标运算典例 3 已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解析 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数，使 kab(a3b)即(k3,2k
9、2)(10，4)，所以k310，2k24，解得 k13.当 k13时，kab 与 a3b 平行，这时 kab13ab13(a3b)，因为 130，所以 kab 与 a3b 反向两平面向量共线的条件有以下两种形式：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(a0)的条件是 x1y2x2y10；若 ab(a0)，则 ba(为实数)3设 A，B，C，D 为平面内的四点，且 A(1,3)，B(2，2)，C(4,1)(1)若AB CD，求 D 点的坐标；(2)设向量 aAB，bBC，若向量 kab 与 a3b 平行，求实数 k 的值解析：(1)设 D(x，y)因为AB CD，所以(2，2)(1,3
10、)(x，y)(4,1)，化为(1，5)(x4，y1)，所以x41，y15，解得x5，y4，所以 D(5，4)(2)因为 aAB(1，5)，bBC(4,1)(2，2)(2,3)，所以 kabk(1，5)(2,3)(k2，5k3)，a3b(1，5)3(2,3)(7,4)因为向量 kab 与 a3b 平行，所以 7(5k3)4(k2)0，解得 k13.向量共线的应用典例(本题满分 12 分)在AOB 中，已知点 O(0,0)，A(0，5)，B(4,3)，OC 14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标解析 设点 C 坐标为(xC，yC)，因为点 O(0,0)，A(0,5)
11、，B(4,3)，所以OA(0,5)，OB(4,3)因为OC(xC，yC)14OA 0，54，所以点 C0，54.同理点 D2，32.2 分设点 M 的坐标为(x，y)，则AM(x，y5)而AD 2，72，因为 A，M，D 三点共线，所以AM 与AD 共线所以72x2(y5)0，即 7x4y20.6 分而CM x，y54，CB 40，354 4，74，因为 C，M，B 三点共线，所以CM 与CB 共线所以74x4y54 0，即 7x16y20.10 分解7x4y20，7x16y20，得x127，y2，所以点 M 的坐标为127，2.12 分规范与警示(1)在处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题
12、的关键，也可能因解不出造成失分在处正确地运用了 AD 与 BC 交于点 M 的条件，否则无法继续求解造成失分在处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成(2)解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证随堂训练 1已知向量 m(2,3)，n(3,1)，则向量 2mn 为()A(1,5)B(
13、1,7)C(7,5)D(7,7)解析：2mn2(2,3)(3,1)(4,6)(3,1)(7,5)答案：C2已知向量 a(1,2)，b(，1)若 ab 与 a 平行，则()A5 B.52C7 D12解析：ab(1,2)(，1)(1,3)，由 ab 与 a 平行，可得132(1)0，解得 12.答案：D3若向量 a(x3，x23x4)与AB 相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x_.解析：A(1,2)，B(3,2)，AB(2,0)又aAB，即(x3，x23x4)(2,0)，x32，x23x40，解得 x1.答案：14如图所示，在平行四边形 ABCD 中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M，N 分别为 DC，AB 的中点，求AM，CN 的坐标，并判断AM，CN 是否共线解析：已知 A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，又因为 M，N 分别为 DC，AB 的中点，所以，由中点坐标公式可得 M 点的坐标为(2.5，2.5)，N(1.5,0.5)所以AM(2.5,2.5)，CN(2.5，2.5)，其坐标满足 2.5(2.5)2.5(2.5)0.所以，AM，CN 共线课时作业
