1、2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN
2、b，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质 N ；logaaN N (a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图像与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称
3、知识拓展1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限()题组二教材改编2log29log34log45log52 .答案23已知a2，blog2，c，则a，b，
4、c的大小关系为 答案cab解析0a1，b1.cab.4函数y的定义域是 答案解析由(2x1)0，得02x11.0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac答案B6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1答案D解析由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图像与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图像是由函数ylogax的图像向左平移不到1个单位后得到的，0c1.7若loga0且a1)，则实数a的取值范围是 答案
5、(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，)题型一对数的运算1设2a5bm，且2，则m等于()A. B10 C20 D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算： .答案20解析原式(lg 22lg 52)lg10lg 1021021020.3计算： .答案1解析原式1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，
6、转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题型二对数函数的图像及应用典例 (1)若函数ylogax(a0且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()答案B解析由题意ylogax(a0且a1)的图像过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3xx，显然图像错误；选项B中，yx3，由幂函数图像性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图像不符；选项D中，ylog3(x)的图像与ylog3x的图像关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)答案B解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图像
7、在函数ylogax图像的下方又当x时，2，即函数y4x的图像过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图像在函数ylogax图像的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.引申探究若本例(2)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为 答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图像知解得01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例 (1)(2018届河南信阳高中大考)设alog412，blog515，clog618，则()Aabc BbcaCacb Dcba答案A解析a
8、1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.(2)(2017江西九江七校联考)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，) D4,4)答案D解析由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上是减少的，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例 已知函数f(x)loga(3ax)(a0且a1)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函
9、数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为(0,1).(2)假设存在这样的实数a.t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思
10、维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题跟踪训练 (1)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab答案D解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是 答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(
11、x)1在区间1,2上恒成立，则f(x)minloga(82a)1，且82a0，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，则f(x)minloga(8a)1，且82a0.a4，且abc BacbCbac Dbca(2)(2017新乡二模)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCcab Dbca(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()Aabc BbacCcba Dacbc BbacCcab Dacb解析(1)因为alog3log331，blog2b，又(log23)21，c0，所以bc，故a
12、bc.(2)a60.41，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故选B.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbaac.答案(1)A(2)B(3)A(4)B1设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bcab Ccba Dacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cab，故选B.2(2017孝义模拟)函数yln sin x(0x)的大致图像是()答案C解析因为0x，所以00，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的递增区间为()A(0，) B(2，)C(1，
13、) D.答案A解析令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的递增区间为.又x2x0，所以x0或x0)因为ylog5t在(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的递增区间是.8设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是 答案0，)解析当x1时，由21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.9(2017南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是 答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lg
14、x|的图像和直线yc有两个不同交点，ab1,0cb1.若logablogba，abba，则a ，b .答案42解析令logabt，ab1，0t0，则实数a的取值范围是 答案解析当0a0，即0a0，解得a，且a1，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，且2a0，解得a0，且a0时，f(x)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以x2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以0|x21|4，解得x2成立，所以x0时，f(x)l
15、g lg lg，令t(x)x，x0，则t(x)1，可知当x(0,1)时，t(x)0，t(x)是增加的，即f(x)在x1处取得最小值lg 2.由偶函数的图像关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.16(2017厦门月考)已知函数f(x)ln .(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x2,6，f(x)ln ln 恒成立，求实数m的取值范围解(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)x2,6时，f(x)ln ln 恒成立，0，x2,6，0m(x1)(7x)在2,6上恒成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数g(x)是增加的，x3,6时函数g(x)是减少的，当x2,6时，g(x)ming(6)7，0m7.
