1、课时规范练52离散型随机变量的均值与方差课时规范练B册第35页 基础巩固组1.(2019浙江宁波六校联考,5)设随机变量X的分布列如下:X0123P0.10.30.4则方差D(X)=()A.0B.1C.2D.3答案B解析a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=10.2+20.3+30.4=2,E(X2)=10.2+40.3+90.4=5,D(X)=E(X2)-E(X)2=5-4=1,故选B.2.(2019北京西城模拟,4)若某科技小制作课的模型制作规则是:每位学生最多制作3次,一旦制作成功,则停止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p(p0),制作次数为X,若X的数学期
2、望E(X)74,则p的取值范围是()A.0,712B.712,1C.0,12D.12,1答案C解析由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+374,解得p52或pp2,E(1)E(2)B.p1E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)p2,E(1)E(2),故选A.5.记5个互不相等的正实数的平均值为x,方差为A,去掉其中某个数后,记余下4个数的平均值为y,方差为B,则下列说法中一定正确的是()A
3、.若x=y,则ABC.若xy,则ABD.若xB答案A解析根据平均值与方差的定义,可以确定当x=y时,去掉的那个数就是x,那么就有A=15(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+0,B=14(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2,所以可以得到AB,而当xy时.对于所去掉的那个数对平均数的差距不明确.故选A.6.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600答案C解析设检测的机器的台数为x,则x的所有可能取
4、值为2,3,4.P(x=2)=A22A52=110,P(x=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(x=4)=C21C31A32C21A54=35,所以E(x)=2110+3310+435=3.5,所以所需的检测费用的均值为1 0003.5=3 500.7.(2019山东济南模拟,14)设0P1,若随机变量的分布列为012PP2121-P2则当P变化时,D()的极大值是.答案12解析因为E()=0p2+112+21-p2=3-2p2,所以D()=p20-3-2p22+121-3-2p22+1-p22-3-2p22=142-(2p-1)212,当且仅当p=12时取等号,因此D()的极
5、大值是12.综合提升组8.(2019湖北黄冈模拟,9)已知随机变量(i=1,2)的分布列如表所示:012p13pi23-pi若0p112p223,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)D(2)D.E(1)E(2),D(1)D(2)答案D解析由题意得E(i)=pi+223-pi=43-pi.0p112p2E(2).D(i)=130-E(i)2+pi1-E(i)2+23-pi2-E(i)2,D(i)=13pi-432+pipi-132+23-pipi+232=-pi2-13pi+89.设f(x)=-x2-13x+89,则f(x)在0,23上单
6、调递减.0p112p2D(2),故选D.9.已知正态分布密度函数为f(x)=12e-x24,x(-,+),则该正态分布的均值为,标准差为.答案02解析正态分布密度函数f(x)=12e-x24,x(-,+),化成标准式为f(x)=122e-(x-0)22(2)2,根据正态分布密度函数的概念可知,该正态分布的均值为0,标准差为2.10.(2019河南八市联考,19)有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习,假设该名牌大学有以下条件之一均可录取:2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔);2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高
7、考重点分数线;2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线).该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表:省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线0.50.60.90.7若该学生数学竞赛获省一等奖,则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队,则提前录取,若未被录取,则再按、顺序依次录取,前面已经被录取后,不得参加后面的考试或录取.(注:自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)(1)求该学生参加自主招生考试的概率;(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望;(3)求该学生被该校录取的概率.解(1)设该学
8、生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A,B,则P(A)=0.5,P(B)=0.2,P1=P(A)+P(AB)=1-0.5+0.5(1-0.2)=0.9.即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.(2)该学生参加考试的次数X的可能取值为2,3,4,P(X=2)=P(A)P(B)=0.50.2=0.1;P(X=3)=P(A)=1-0.5=0.5;P(X=4)=P(A)P(B)=0.50.8=0.4.所以X的分布列为X234P0.10.50.4E(X)=20.1+30.5+40.4=3.3.(3)设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取,自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取
9、的事件分别为C,D.P(AB)=0.1,P(C)=0.90.60.9=0.486,P(D)=0.90.40.7=0.252,所以该学生被该校录取的概率为P2=P(AB)+P(C)+P(D)=0.838.创新应用组11.(2019江西吉安模拟,7)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为64个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.4532B.54C.32D.2答案C解析由题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=22264=18;P(X=1)=22664=38;P(X=2)=21264=38;P(X=3)=864=18,所以E(
10、X)=018+138+238+318=32.故选C.12.某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是12,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则E(X)=.答案3116解析P(X=1)=12,P(X=2)=122=14,P(X=3)=123=18,P(X=4)=124=116,P(X=5)=1241=116,列表X12345P121418116116所以E(X)=112+214+318+4116+5116=3116.13.(2019安徽六安二中、霍邱一中联考,19)甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B选择甲的概率均为m,C,D选择
11、甲的概率均为n(mnm0,解得m=13,n=23.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=23231313=481,P(X=1)=C21131-131-232+1-132C21231-23=2081,P(X=2)=C21131-13C21231-23+1321-232+1-132232=3381=1127,P(X=3)=C21231-23232+132C21231-23=2081,P(X=4)=13132323=481.X的分布列如下表:X01234P481208111272081481E(X)=0484+12081+21127+32081+4481=2.14.(2019四川内江
12、模拟,19)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位:百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055赞成人数4812521(1)由以上统计数据填下面22列联表,并问是否有99%的把握认为“月收入以5 500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;月收入不低于55(百元)的人数月收入低于55(百元)的人数合计赞成a=c=不赞成b=d=合计(2)若对在15,25)、25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“楼市限购令”
13、的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考值表:P(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(k2K0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828解(1)22列联表:月收入不低于55(百元)的人数月收入低于55(百元)的人数合计赞成a=3c=2932不赞成b=7d=1118合计104050所以K2=50(311-729)2104032186.276.635,则没有99
14、%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.(2)的所有可能取值有0,1,2,3.所以P(=0)=C42C52C82C102=6102845=84225,P(=1)=C41C52C82C102+C42C52C81C21C102=4102845+6101645=104225,P(=2)=C41C52C81C21C102+C42C52C22C102=4101645+610145=35225,P(=3)=C41C52C22C102=410145=2225.则的分布列如下表:0123P84225104225352252225的期望值E()=084225+1104225+235
15、225+32225=45.15.(2019江苏宿迁模拟,17)已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A,则事件A包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”,由古典概型的概率公式和互斥事
16、件的概率加法公式得P(A)=C32C31+C22C41C63=1320.答:取出的2个球颜色相同的概率为1320.(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事件B,则P(B)=C431331-13=881.答:取4次恰有3次黄球的概率为881.(3)X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=A22A62=115,P(X=3)=C21C41A22A63=215,P(X=4)=C21C42A33A64=15,P(X=5)=C21C43A44A65=415,P(X=6)=C21A55A66=13,所以随机变量X的分布列为X23456P1152151541513所以,随机变量X的数学期望为E(X)=2115+3215+415+5415+613=143.
