1、考点集训(十六)第16讲导数与函数的极值、最值对应学生用书p218A组题1函数f(x)sin xx在区间0，1上的最小值为()A0 Bsin 1 C1 Dsin 11解析 由题得f(x)cos x1，因为x0，1，所以f(x)0，所以函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)minf(1)sin 11.答案 D2若函数f(x)x33xm的极小值为1，则函数f(x)的极大值为()A3 B1 C. D2解析 f(x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，1是极大值点，1是极小值点，于是有f(1)13m1，m1，从而f(1)1313，即极大值为3.答案 A3
2、已知函数f(x)aexx2(2a1)x，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1，0)C(2，1) D(，0)(0，1)解析 f(x)aex2x(2a1)g(x)，由函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值g(x)在区间(0，ln 2)上单调且存在零点g(0)g(ln 2)(a2a1)(2a2ln 22a1)0，可得a10，解得a1.此时g(x)aex2在区间(0，ln 2)上单调递减实数a的取值范围是(，1)答案 A4已知aln x对任意x恒成立，则a的最小值为()A1 Be2 C. D0解析 令f(x)ln x，f(x)，可得函数在递减，在
3、1，e递增，又f(e)0)，使f(x)在1，2上取得最大值3，最小值29，则a的值为_解析 函数f(x)的导数f(x)3ax212ax3ax(x4)，a0，由f(x)0解得0x0，解得x4或x，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.8已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解析 (1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(
4、x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.B组题1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)在(，1)单调递减B函数f(x)在(1，2)单调递增C函数f(x)有极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)解析 由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答
5、案 CD2已知函数f(x)x3bx2cxd有两个极值点x1，x2，则b2的取值范围是()A. B.C. D.解析 fx2bxc在上有两个不同的零点，则即b2ff0，b210，此时，f(x)在区间(0，)上单调递增当0a1时，由f(x)0得x12 (x22舍去)当x(0，x1)时，f(x)0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，)上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在区间(0，)上单调递增；当0a1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2)由(1)知，当a1时，f(x)0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0a且x2，所以2，22，解得a. 此时，易知x1，x2分别是f (x)的极小值点和极大值点而f(x1)f(x2)ln(1ax1)ln(1ax2)ln1a(x1x2)a2x1x2ln(2a1)2ln(2a1)22. 令2a1t. 由0a1且a知，当0 a 时，1 t 0；当 a 1时，0 t1.记g(t)ln t22.(i)当1t 0时，g(t)2ln(t)2，所以g(x) 0，因此，g (t)在区间(1，0)上单调递减，从而g(t)g(1)40.故当0a时，f(x1)f(x2)0. (ii)当0t1时，g(t)2ln t2，所以g(t)g(1)0. 故当a0.综上所述，满足条件的a的取值范围为.
