1、第二课时导数与函数的单调性(二)课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.题型一含参数函数的单调性【例1】讨论函数f(x)ax2x(a1)ln x(a0)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x0时，f(x)，a0，0.由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1.f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为增函数.综上所述，当a0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，)内为
2、增函数.规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.【训练1】求函数f(x)aln x(aR)的单调递减区间.解易得函数f(x)的定义域是(0，)，f(x).当a0时，f(x)0时，若0x，则f(x)，则f(x)0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上可知，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，当a0时，f(x)的单调递减区间为.题型二根据函数的单调性求参数【例2】(1)若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A.(，2
3、B.(，4C.(，8 D.2，4(2)已知函数f(x)在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是()A. B.(，3)C. D.(，)解析(1)易得f(x)x2(2c)xc5ex.函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2(2c)xc50对任意x恒成立，c对任意x恒成立.x，x14，当且仅当x1时等号成立，c4.(2)易得f(x)xb.根据题意，得f(x)0在上有解.令h(x)2x22bx1，因为h(0)10，所以只需h(2)0或h0，解得b，故选A.答案(1)B(2)A规律方法(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性
4、质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“”时是否满足题意.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不单调，则实数k的取值范围是()A.(，31，13，)B.(3，1)(1，3)C.(2，2)D.不存在这样的实数k解析由题意得，f(x)3x2120在区间(k1，k1)上至少有一个实数根.又f(x)3x2120的根为2，且f(x)在x2或2两侧导数异号，而区间(k1，k1)的区间长度为2
5、，故只有2或2在区间(k1，k1)内，k12k1或k12k1，1k3或3k0，则()A.e2 019f(2 019)f(0)B.e2 019f(2 019)f(0)，e2 019f(2 019)f(0)，e2 019f(2 019)f(0)D.e2 019f(2 019)f(0)，e2 019f(2 019)f(0)(2)已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A.(0，1) B.(2，)C.(1，2) D.(1，)解析(1)构造函数h(x)exf(x)，则h(x)exf(x)exf(x)ex(f(x)f(x)0，所以函数h(x
6、)在R上单调递增，故h(2 019)h(0)，即e2 019f(2 019)e0f(0)，即e2 019f(2 019)h(0)，即e2 019f(2 019)f(0)，故选A.(2)构造函数yxf(x)，x(0，)，则yf(x)xf(x)(x1)f(x21)，所以(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以x12或x(x1)f(x21)的解集是(2，).故选B.答案(1)A(2)B【迁移1】把例3(1)中的条件“f(x)f(x)0”换为“f(x)f(x)”，比较e2 019f(2 019)和f(0)的大小.解令g(x)，则g(x)，因为对任意的xR，都有f(x)f(x)，所以g(x)0，即
7、g(x)在R上单调递增，所以h(2 019)h(0)，即，所以e2 019f(2 019)f(0).【迁移2】把例3(2)中的条件“f(x)xf(x)”换为“f(x)(2x1)f(x21).解设g(x)，则g(x)，f(x)0，故g(x)在(0，)上是增函数，由(x21)f(2x1)(2x1)f(x21)得即g(2x1)g(x21)，所以解得0x(2x1)f(x21)的解集为(0，2).规律方法用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：(1)对于f(x)g(x)，构造h(x)f(x)g(x).(2)对于f(x)g(x)0，构造h(x)f(x)g(x).(3)对于f(x)f(x)0，
8、构造h(x)exf(x).(4)对于f(x)f(x)，构造h(x).(5)对于xf(x)f(x)0，构造h(x)xf(x).(6)对于xf(x)f(x)0，构造h(x).【训练3】(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(0)0，f(x)cos xf(x)sin x0，则下列判断中正确的是()A.f0C.ff D.ff解析令g(x)，x，则g(x)，因为f(x)cos xf(x)sin x0，所以g(x)0在上恒成立，因此函数g(x)在上单调递减，又g，即，即ff，故A错；又f(0)0，所以g(0)0，所以g(x)0在上恒成立，因为ln ，所以f，所以gg，所以，即ff，故
9、C正确；又g，所以，即ff，故D正确；故选CD.答案CD一、素养落地1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.二、素养训练1.设函数f(x)2xsin x，则()A.f(1)f(2) B.f(1)0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)f(2).答案B2.若f(x)x3ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是()A.1 B.2 C.3 D.4解析f(x)x22ax，令f(x)0，故解得0xf
10、(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)，x(0，e)，f(x)0，x(e，)，f(x)f(3)f(2).答案D4.若函数yx22bx6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是_.解析由题意得y2x2b0在(2，8)内恒成立，即bx在(2，8)内恒成立，所以b2.答案(，25.若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_.解析f(x)在(1，)上为减函数，f(x)0在(1，)上恒成立.f(x)x，x0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在(1，)上恒成立.设g(x)x
11、(x2)(x1)21，则当x1时，g(x)1，b1.答案(，1基础达标一、选择题1.已知函数f(x)，当1x3时，下列关系正确的是()A.f()f(x)f2(x)B.f(x)f()f2(x)C.f2(x)f()f(x)D.f2(x)f(x)f()解析由题意得f(x)，当1x0，所以f(x)在(1，3)上单调递增.又1x3，所以f()f(1)e，所以f2(x)f(x).综上f()f(x)0时，有f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0 D.f(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上均单调递增，f(x)在(，0)上
12、单调递增，g(x)在(，0)上单调递减，当x0，g(x)0.答案B3.已知函数f(x)x2ax3在(0，1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1，2)上为增函数，则a()A.1 B.2 C.0 D.解析函数f(x)x2ax3在(0，1)上为减函数，1，得a2.g(x)2x，依题意g(x)0在(1，2)上恒成立，即2x2a在x(1，2)时恒成立，有a2，a2.答案B4.已知函数f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(，)B.，C.(，)(，)D.(，)解析f(x)3x22ax1，由题意，可知f(x)3x22ax10在R上恒成立，(2a)24(3)(1)0，解
13、得a.答案B5.若函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意，得函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.令f(x)0，解得x或x(舍去).当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)在区间上单调递增.因为函数f(x)在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以k1k1，解得k.又k10，所以1k.故选C.答案C二、填空题6.若函数f(x)(x2mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为_.解析f(x)x2(m2)xmex.因为f(x)的单调减区间是，所以f(x)0的两个根分别为x1，x21，即解得m.
14、答案7.函数f(x)x3(2a1)x2(a2a)x4的单调减区间是_.解析f(x)x2(2a1)xa2ax(a1)(xa)，令f(x)0，得ax0时，xf(x)f(x)0，则不等式xf(x)0的解集是_.解析由题意设g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x).当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数.又f(2)0，则g(2)2f(2)0，不等式xf(x)0等价于g(x)0g(2)，|x|2，解得x2，不等式xf(x)0的解集是(，2)(2，).答案(，2)(2，)三、解答题9.已知函数f(x)x3ax2a2x
15、2.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间.解(1)a1，f(x)x3x2x2，f(x)3x22x1，f(1)4.又f(1)3，切点坐标为(1，3)，所求切线方程为y34(x1)，即4xy10.(2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)，由f(x)0得xa或x.又a0，由f(x)0，得ax0，得x，故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.10.试讨论函数f(x)kxln x的单调区间.解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx10，f(x)0时，由f(x)0，即0，解得0x0，即0，解得x.
16、当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当k0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.能力提升11.已知函数f(x)xln xx(xa)2(aR).若存在x，使得f(x)xf(x)成立，则实数a的取值范围是()A. B.C.(，) D.(3，)解析由f(x)xf(x)成立，可得0.设g(x)ln x(xa)2，则存在x，使得g(x)2(xa).又x2，当且仅当x，即x时取等号，所以a.故选C.答案C12.已知函数f(x)x3ax2x1，aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间内是减
17、函数，求a的取值范围.解(1)f(x)3x22ax1，4(a23).当0，即a或a时，令f(x)0，即3x22ax10，解得x或x；令f(x)0，即3x22ax10，解得x.故函数f(x)的单调递增区间是，；单调递减区间是.当0，即a时，对所有的xR都有f(x)0，故f(x)在R上单调递增.当0，即a时，f0，且对所有的x都有f(x)0，故f(x)在R上单调递增.(2)由(1)，知只有当a或a时，f(x)在内是减函数，所以解得a2.故a的取值范围是2，).创新猜想13.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)，对任意的xR恒成立，则()A.f(ln 2)2f(0) B.
18、f(2)2f(0) D.f(2)e2f(0)解析令g(x)，则g(x)0，20，故g(ln 2)g(0)，g(2)g(0)，即，所以f(ln 2)2f(0)，f(2)e2f(0).答案AB14.(多空题)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，则实数a的取值范围是_.解析(1)由题知h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，可得当x(0，)时，ax2有解.设G(x)(x0)，所以只要aG(x)min即可.而G(x)1，所以G(x)min1.因为a0，所以1a0.(2)由h(x)在1，4上单调递减，得当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立.设H(x)，x1，4，所以aH(x)max，而H(x)1，因为x1，4，所以，所以H(x)max(此时x4).因为a0，所以a0.答案(1)(1，0)(0，)(2)(0，)
