1、江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期5月检测试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.命题：“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是“，”.故答案为：，.【点睛】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用2.已知复数，(为虚数单位)在复平面内，对应的点在第_象限【答案】二 【解析】 复数，对应的点为，在复平面内，对应的点在第二象限，故答案为二.3.在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是 【答案】【解
2、析】试题分析：求几何概型概率问题，首先要明确测度是什么，本题是在边上随机取一点，所以测度是长度，当时，,所以的概率为.考点：几何概型概率4.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是_.【答案】40【解析】试题分析：区间56.5，64.5）的频率为，人数是考点：频率分布直方图5.设等差数列的前项和为，若，则 【答案】【解析】试题分析：，所以考点：等差数列基本量6.已知函数是奇函数，当时，且，则 【答案】【解析】试题分析：，所以考点：奇函数性质【方法点
3、睛】（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）f（x）0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值；（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f（x）的方程，从而可得f（x）的值或解析式.7.设函数的部分图象如图所示则_【答案】【解析】【分析】由函数的图象求出即可求得值,代入解析式即可求得,进而求得结果.【详解】由图可知,再根据,又,所以,因此.故答案为: .【点睛】已知函数的图象求解析式.（1）;（2）由函数的周期,求;（3）利用“五点法“中相对应的特殊点求.8.如
4、图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是 【答案】【解析】试题分析：，所以，因此向量与的夹角余弦值是考点：向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9.已知，且，则的值为_【答案】【解析】【分析】由已知可求出,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.【详解】,且,且,则.故答案为: .【点睛】本题考查两角差余弦公式,考查同角三角函数的关系,属
5、于基础题.10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，G是的重心，且，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】分析】设，将代入双曲线的方程，可得的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得的坐标，得到的坐标,运用向量数量积的坐标表示,可得的方程,由离心率公式,解方程可得.【详解】解：设,将代入双曲线的方程，可得,解得:.可设由重心坐标公式可得,即由,即.即为.由,可得 解得故答案为:【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示,考查化简整理的运算能力,属于中档题.11.已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形
6、面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先由圆方程得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求出结果.【详解】因为可变形为，所以其圆心为，半径为；所以圆心到直线的距离为.由题知，当为过圆心且垂直于的直径时，四边形的面积取最大值，为.故答案为.【点睛】本题主要考查直线与圆的应用，熟记点到直线距离公式，以及圆的性质即可，属于常考题型.12.如图，已知AC是圆的直径，B，D在圆上且，则_【答案】【解析】【分析】如图,连接,可知.,由数量积的定义及向量投影可知,计算即可得出结果.【详解】解:如图,连接,为直径,.故答案为:2.【点睛】本题考查向量的减法运算,考查
7、数量积的定义和向量投影的定义,属于基础题.13.若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：易知在上均为增函数，不妨设，则等价于即令，则在为减函数，则在上恒成立，恒成立令，为减函数，在的最大值为综上，实数的取值范围为.考点：利用导数求参数取值范围【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.14.在三角形A
8、BC中，D为BC边上一点，且，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】设则,在ABD和ACD中,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值.【详解】如图,由已知,设则,在ABC中,由正弦定理可得:,在ACD中,由正弦定理可得:.所以化简可得:,可得: .可得的最大值为.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知平面向量，（1）若，求t的值;（2）若，求的值【答案】（1）（2
9、）【解析】【分析】(1)向量相等只要对应的坐标相等即可求得,即可得出结果.(2) ,即,化简可得,由于,代入即可得出结果.【详解】解：（1），由(1)得，由(2)得（2）当时，由，得，即，求得，【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示公式,考查同角三角函数关系的应用,考查两角和的正切公式,考查了数学运算能力,属于基础题.16.如图，直三棱柱中，且N是的中点（1）求证：直线平面；（2）若M在线段上，且平面，求证：M是的中点【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明,即可证明直线平面;(2)证明,利用是的中点,可得结论.【详解】证明：（1）直三棱柱，平面，平面，平面，平
10、面平面，且N是的中点，平面，直线平面证明：（2）平面，平面平面，平面，N是的中点，M是的中点【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查线面平行的性质定理,属于基础题.17.在国家批复成立江北新区后，南京市政府规划在新区内的一条形地块上新建一个全民健身中心，规划区域为四边形ABCD，如图，点B在线段OA上，点C、D分别在射线OP与AQ上，且A和C关于BD对称已知（1）若，求BD的长；（2）问点C在何处时，规划区域的面积最小?最小值是多少？【答案】(1) (2) 当时,规划区域面积最小,最小面积为.【解析】【分析】(1) 利用.列出比例式即可得出;(2) 设,根据得出的关系,求出的范围,利
11、用(1)中的比例式求出,得出规划区域的面积关于的解析式,利用导数判断函数的单调性,得出面积的最小值.【详解】(1) ,设,则,是的中垂线,即,解得.即,解得:.(2) 设则,由得,由得: .由(1)得: ,即.令,则,令,得,即.当时, ,当时, .在单调递减,在单调递增.当时, 取得最小值.当时,规划区域面积最小,最小面积为.【点睛】本题考查利用三角形相似,对应边成比例,求解边长,考查利用导数解决实际问题中的最值问题,属于中档题.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使，延长，分別交椭圆于，（1）求椭圆离心率的最小值；（2）当椭圆的离心率取最小值时，求
12、直线的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，则，因为，所以，得在上有解，得离心率取值范围；（2）方程变为，即，.由点差法得.【详解】（1）设，则，因为，所以A在以OF为直径的圆上，所以，得在上有解.，.（2）方程变为，即，.，因为，所以两式相减得：，.【点睛】求解离心率问题关键是建立关于，的关系式（等式或不等式），并且最后要把用， 表示，转化为关于离心率的关系式19.已知函数（1）若函数在处的切线方程，求实数a，b的值；（2）若函数在和两处得极值，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若求实数a的取值范围【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】(1)对函数进行求导,将
13、代入,可以求得实数的值;(2)对函数的导数再进行求导,对进行分情况讨论,在不同情况下,函数都有两个极值，从而求出实数的取值范围;(3) 由题意得: ,即，令则,令,求导可得在上单调递减,则,即由于,构造函数,求导可知在上单调递减,计算即可得出结果.【详解】解：（1）由题意得：，即，即，所以，（2）由题意知：有两个零点，令，而，当时，恒成立，所以单调递减，此时至多个零点（舍）当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以因为有两个零点，所以，解得：因为，且，而在上单调递减，所以在上有1个零点又因为（易证），则且，而在上单调递增，所以在上有1个零点，综上：（3）由题意得：，即，所以，令，即，令
14、，令而，所以上单调递减，即，所以在上单调递减，即因为，令，而恒成立，所以在上单调递减，又，所以【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程、函数的单调性、函数的极值问题，导数的应用,渗透了分类讨论思想属于难题.20.设无穷数列的前项和为，已知，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立?若存在，请写出数列的所有通项公式；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.【解析】【分析】（1）令，则，解得.（2），两式相减得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.（3）假设存在数列的一个无
15、穷子数列，使对一切均成立，则，因为为无穷子数列，则存在使得.所以整理得，与为递增数列矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.【详解】（1）令，（2），两式相减得，整理得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.（3）假设存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立，则，因为无穷子数列，则存在使得.所以整理得，由（2）得，数列为数列的一个无穷子数列，则为递增数列，这与矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.【点睛】已知，求的步骤：1.当时，2.当时，3.对时的情况进行检验，若适合的通项公式则可以合并，若不适合则写成分段形式当存在
16、性问题不好证明时可以使用反证法，假设问题的反面成立，利用题设条件和已有知识推出矛盾，假设不成立，则原命题得证20192020学年度第二学期数学检测试卷高三数学附加（选修4-2：矩阵与变换）21.已知矩阵，A的逆矩阵，求【答案】【解析】【分析】直接利用矩阵与其逆矩阵的关系列方程可得：,.再利用矩阵运算法则即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以，【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法及矩阵与其逆矩阵之间的关系,考查计算能力,属于基础题.（选修4-4：坐标系与参数方程）22.已知点（其中，点P的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线上（1）求曲线的极坐标方程和曲线的
17、直角坐标方程；（2）当，时，求曲线与曲线的公共点的极坐标【答案】(1) , (2) 【解析】【分析】(1) 由点（其中,可知点的轨迹曲线的参数方程为： ,化为直角坐标方程,再利用互化公式即可化为极坐标方程, Q的曲线方程为,化简得,利用互化公式即可得出结果.(2) 直线方程与圆的方程联立解得直角坐标再化为极坐标即可得出.【详解】（1）点（其中,可知点的轨迹曲线的参数方程为： ,化为直角坐标方程为:.展开为,化为极坐标方程：Q的曲线方程为,化简得,化为直角坐标方程: （2）联立化为,解得,可得交点,化为极坐标【点睛】本题考查参数方程和直角坐标方程的互化,考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直
18、线和圆的交点问题,属于中档题.【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分23.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望【答案】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只 , i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只 , i=0,
19、1,2,2分依题意有: P(A1)=2 = , P(A2)= = .P(B0)= = , P(B1)=2 = , 4分所求概率为: P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= + + = 6分()的可能值为0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3= , P(=1)=C31()2=,P(=2)=C32()2 = , P(=3)=( )3= 10分的分布列为: 0123P 数学期望: E=3 = .12分【解析】试题分析：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只 , i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只 , i=0,1,2,依题意
20、有: P(A1)=2=, P(A2)=. P(B0)=,P(B1)=2=, 所求概率为: P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=+=()的可能值为0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3=, P(=1)=C31()2=,P(=2)=C32()2=, P(=3)=()3=的分布列为: 0123P考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列点评：典型题，利用概率知识解决实际问题，在高考题中常常出现，这类题目解答的难点在于求随机变量的概率24.设，以表示正整数b，c的最小公倍数求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】利用数学归纳法及放缩法可知当时，成立,假设时命题成立, 去推证当时成立,由,只需证辅助命题即可, 设，则，利用放缩法证明即可.【详解】先用数学归纳法证明当时，成立假设时命题成立，则当时，因此，只需证辅助命题“”设，则，所以从而，即时命题成立由上可知，对一切，命题都成立而，故【点睛】本题考查数学归纳法和放缩法在证明不等式问题中的应用,难度较难.
