1、3.1.2 指数函数及其性质（1）教学设计一、三维目标1知识与技能掌握指数函数的概念、图象和性质.能借助计算机软件或计算器画指数函数的图象.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.2过程与方法学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法，如具体到一般，数形结合的方法等.通过探讨理解指数函数y=ax中为什么要规定a0，a1？明确数学概念的严谨性和科学性.3情感态度与价值观通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，逐步培养学生的应用意识.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.教学过程中，通过现代信息技术的合理
2、应用，让学生探究、理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.二、教学重点指数函数的概念和性质.三、教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.四、教具准备多媒体课件、投影仪、大屏幕、自制ppt课件.五、教学过程1总体设计：引入讲授新课探究性质-课堂练习课时小结课后作业2具体安排：以问题为载体，带领学生探求新知（一）以生活实例，引入新课(5分钟)（多媒体课件展示）在本章的开头,问题1中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x 问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=（）你们能从这两个解析式中发现他们有什么共同特征呢？我们发现：在关系式y=
3、1.073x和P=（）中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y=1.073x和P=（）都是函数关系式，且函数y=1.073x和函数P=（）=()t,在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上.师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？（生交流，师总结得出如下结论）生：用字母a来代替1.073与（）.结论：函数y=1.073x和函数P=（）都是函数y=ax的具体形式.函数y=ax是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型指数函数.（引入新课，书写课题）（二）讲解新课
4、1.指数函数的概念（10分钟）（师结合引入，给出指数函数的定义）一般地，函数y=ax（a0，a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.合作探究：（1）定义域为什么是实数集？（生思考，师适时点拨，给出如下解释）结论：在a0的前提下，x可以取任意的实数，所以函数的定义域是R.合作探究：（2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a0，a1？（生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R）结论：这是因为（）a=0时，当x0，ax恒等于0；当x0，ax无意义.（）a0时，例如a=，x=，则ax=（）无意义.（）a=1时，ax恒等于1，无研究价值.所以规定a0，且a1.合作探
5、究：（3）判断下列函数是否是指数函数：y=23x；y=3x1；y=x3；y=3x；y=（4）x；y=x；.生：只有为指数函数.跟踪训练1、函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值【方法指导】指数函数的概念是一个“形式上”的定义，也就是只有符合yax(a0，且a1)形式的函数是指数函数【解析】由y(a23a3)ax是指数函数，可得解得a2.方法引导：指数函数的形式就是y=ax，ax的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y=ax+k（a0，且a1，kZ）；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例如y=ax（a0，且a1
6、），这是因为它的解析式可以等价化归为y=ax=（a1）x，其中a10，且a11.如y=23x是指数函数，因为可以化简为y=8x.要注意幂底数的范围和自变量x所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.2.指数函数的图象和性质探究（15分钟）师：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数值.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？（生思考）师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？先来研究1的情况生：函数y=2x的图象.师：作图的基本方法是什么？生：列表、描点、连线.合作探究：（1）我们在学习函数的单调性的时候，主要是
7、根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y=2x的图象生：-3-2.5-2-1.5-100.511.52124借助多媒体手段画出图象. 师：研究函数要考虑哪些性质?生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解析式分析函数y=2x的性质应该如何呢?生：图象左右延伸，说明定义域为R；图象都分布在x轴的上方，说明值域为R+；图象上升，说明是增函数；不关于y轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：再研究01的情况，类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?生：我们选择函数y=（）x的图象作典型.合作探究：（
8、2）用计算机完成以下表格并绘出函数y=（）x的图象.生：-3-2-1.5-1011.522.5y=（）x8421作出函数y=（）x的图象.师：函数y=2x的图象与函数y=（）x的图象有什么关系？可否利用y=2x的图象画出函数y=（）x的图象？生：两个函数的图象关于y轴对称，可以通过函数y=2x的图象画出函数y=（）x的图象。合作探究：（3）思考底数a的变化对图象的影响. 师：指数函数y=ax（0且1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系?（多媒体显示如下材料）注意观察电脑软件画出y=2x y=4x y=（）x y=（）x的函数图象. （生观察并讨论，给出如下结论）结论1：从图上看y=ax（
9、1）与y=ax（01）两函数图象的特征. 结论2：在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴. (在第二象限内，底数a越小，函数的图象越远离x轴.)合作探究：（4）根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性.（生讨论并总结，共同给出如下结论）我们发现：一般地，指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质（1）定义域为（，+）；值域为（0，+）性质（2）过点（0，1），即x=0时，y=a0=1（3）若x0，则ax1；若x0，则0ax1（3）若x0，则0ax1；若x0，则ax1（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数3.例题讲解（
10、15分钟）【例6】 已知指数函数f(x)= ax （0且1）的图象过点（3，），求f(0), f(1),f(-3)的值。（多媒体显示，师组织学生讨论完成）师：要求f(0), f(1),f(-3)的值，我们应该先求出指数函数f(x)= ax 的解析式，也就是求出a的值。怎样求a的值呢？（生交流自己的想法，师归纳，得出如下结论）通过图象过点（3，），可以求出底数a的值。（生讨论交流，并板演解答过程，师组织学生进行评析，规范学生解题）解：f(x)= ax图象过点（3，）f(3)= ,即a3 =，解得a= f(x)= ()x = f(0)= 0= 1 , f(1)= = , f(-3)=跟踪训练2已知
11、指数函数的图象过点，求，的值.【例7】比较下列各题中两个数的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.师：【分析】将所给指数值化归到同一指数函数，利用指数函数单调性比较大小；若不能化归为同一底数时，或求范围或找一个中间值再比较大小.【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.71，指数函数y=1.7x在(-,+)上是增函数.2.53,1.72.51.73.（2）函数y=0.8x，由于00.8-0.2，0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1.师：【评析】比较大小一般用函数单调性，而比较1.70.3与0.93.1的
12、大小，可在两数间插入1，它们都与1比较大小可得结论，注意此类题在求解时，常插入0或1.跟踪训练33、比较下列各组数的大小(1)1.52.5，1.53.2；(2)0.51.2，0.51.5；(3)1.50.3，0.81.2.【解析】(1)f(x)1.5x，1.51，f(x)1.5x在R上是增函数，又2.53.2，1.52.51.53.2.(2)g(x)0.5x，00.51.5，0.51.21.501，又0.81.20.81.2.（四）课堂小结（5分钟）师：通过本节课的学习，你觉得你都学到了哪些知识?请同学们互相交流一下自己的收获，同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.（生交流，师简单板书，多媒体显示如下内容）1、理解指数函数的概念和底数a的取值对函数图象和性质的影响。2、指数函数的图象和性质，能结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法数形结合思想（方法）.3、掌握研究初等函数的基本方法和步骤有：（1）先给出函数的定义 （2）作出函数的图象 （3）借助图象从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数的性质。（五）布置作业1、(复习)课本P59 习题A组第7题2、(预习) 课本P57例题8附：板书设计2.1.2 指数函数及其性质（1）一、1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质二、1.例题评析2.巩固练习三、课堂小结四、布置作业
