1、2021年广东省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）（2021广东）下列实数中，最大的数是（）AB2C|2|D32（3分）（2021广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）A0.510858109B51.0858107C5.10858104D5.108581083（3分）（2021广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）A112B1
2、6C13D124（3分）（2021广东）已知9m3，27n4，则32m+3n（）A1B6C7D125（3分）（2021广东）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，则ab（）A3B92C43D96（3分）（2021广东）下列图形是正方体展开图的个数为（）A1个B2个C3个D4个7（3分）（2021广东）如图，AB是O的直径，点C为圆上一点，AC3，ABC的平分线交AC于点D，CD1，则O的直径为（）A3B23C1D28（3分）（2021广东）设6-10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+10）b的值是（）A6B210C12D9109（3分）（2021广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出
3、利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)这个公式也被称为海伦秦九韶公式若p5，c4，则此三角形面积的最大值为（）A5B4C25D510（3分）（2021广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线yx2上的两个动点，且OAOB连接点A、B，过O作OCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A12B22C32D1二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.11（4分）（2021广东）二元一次方程组x+2y=-22x+y=2的解为 12（4分）（2021广东）把抛物线
4、y2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 13（4分）（2021广东）如图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC4分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 14（4分）（2021广东）若一元二次方程x2+bx+c0（b，c为常数）的两根x1，x2满足3x11，1x23，则符合条件的一个方程为 15（4分）（2021广东）若x+1x=136且0x1，则x2-1x2= 16（4分）（2021广东）如图，在ABCD中，AD5，AB12，sinA=45过点D作DEAB，垂足为E，则sinBCE
5、 17（4分）（2021广东）在ABC中，ABC90，AB2，BC3点D为平面上一个动点，ADB45，则线段CD长度的最小值为 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.18（6分）（2021广东）解不等式组2x-43(x-2)4xx-7219（6分）（2021广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数20（6分）（2021广东）如图，在RtABC中，A90，作BC的垂直平分线交
6、AC于点D，延长AC至点E，使CEAB（1）若AE1，求ABD的周长；（2）若AD=13BD，求tanABC的值四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。21（8分）（2021广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4x图象的一个交点为P（1，m）（1）求m的值；（2）若PA2AB，求k的值22（8分）（2021广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同在
7、销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50x65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润23（8分）（2021广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点连接BE，将ABE沿BE折叠得到FBE，BF交AC于点G，求CG的长五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。24（10分）（2021广东）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，ABC90，点E、F分别在线段BC、AD上，且EFCD，ABAF，C
8、DDF（1）求证：CFFB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF2，DFE120，求ADE的面积25（10分）（2021广东）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，0），且对任意实数x，都有4x12ax2+bx+c2x28x+6（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由2021年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共
9、30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）（2021广东）下列实数中，最大的数是（）AB2C|2|D3【分析】C选项，2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项，22，即可得到最大的的数是【解答】解：|2|2，24，22，223，最大的数是，故选：A【点评】本题考查了实数的比较大小，知道22是解题的关键2（3分）（2021广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）A0.510858109B51.0858107C5.10858
10、104D5.10858108【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【解答】解：51085.8万5108580005.10858108，故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值3（3分）（2021广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）A112B16C13D12【分析】画树状图，共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数
11、，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，两枚骰子向上的点数之和为7的概率为636=16，故选：B【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比4（3分）（2021广东）已知9m3，27n4，则32m+3n（）A1B6C7D12【分析】分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可【解答】解：9m32m3，27n33n4，32m+3n32m33n3412故选：D【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本
12、题的关键5（3分）（2021广东）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，则ab（）A3B92C43D9【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解：由题意得，a-3=0，9a212ab+4b20，解得a=3，b=332，所以，ab=3332=92故选：B【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为06（3分）（2021广东）下列图形是正方体展开图的个数为（）A1个B2个C3个D4个【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可【解答】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：故这些图形
13、是正方体展开图的个数为3个故选：C【点评】本题考查了几何体的展开图解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形7（3分）（2021广东）如图，AB是O的直径，点C为圆上一点，AC3，ABC的平分线交AC于点D，CD1，则O的直径为（）A3B23C1D2【分析】如图，过点D作DTAB于T证明DTDC1，推出AD2DT，推出A30，可得结论【解答】解：如图，过点D作DTAB于TAB是直径，ACB90，DCBC，DB平分CBA，DCBC，DTBA，DCDT1，AC3，ADACCD2，AD2DT，A30，AB=ACcos30=332=23，故选：B【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解
14、直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题8（3分）（2021广东）设6-10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+10）b的值是（）A6B210C12D910【分析】根据算术平方根得到3104，所以26-103，于是可得到a2，b4-10，然后把a与b的值代入（2a+10）b中计算即可【解答】解：3104，26-103，6-10的整数部分为a，小数部分为b，a2，b6-10-24-10，（2a+10）b（22+10）（4-10）（4+10）（4-10）6，故选：A【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进
15、行估算9（3分）（2021广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)这个公式也被称为海伦秦九韶公式若p5，c4，则此三角形面积的最大值为（）A5B4C25D5【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解【解答】解：p=a+b+c2，p5，c4，5=a+b+42，a+b6，a6b，S=p(p-a)(p-b)(p-c)=5(5-a)(5-b)(5-4) =5(5-a)(5-b) =5ab-25 =5b(6-b)-25 =-5b
16、2+30b-25 =-5(b-3)2+20，当b3时，S有最大值为20=25故选：C【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积10（3分）（2021广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线yx2上的两个动点，且OAOB连接点A、B，过O作OCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A12B22C32D1【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OEa，OFb，由抛物线解析式可得AEa2，BFb2，作AHBH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证ADGABH，所以DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b可得mab再证明
17、AEOOFB，所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，可得ab1即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO1进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即12时最大【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OEa，OFb，由抛物线解析式为yx2，则AEa2，BFb2，作AHBH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），DGBH，ADGABH，DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b化简得：mabAOB90，AOE+BOF90，又AOE+EAO90，BOFEAO，又AEOBFO90，AEOOFBAEOF=EOBF，即
18、a2b=ab2，化简得ab1则mab1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）DCO90，DO1，点C是在以DO为直径的圆上运动，当点C到y轴距离为12DO=12时，点C到y轴距离的最大故选：A【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.11（4分）（2021广东）二元一次方程组x+2y=-22x+y=2的解为 【分析】直接利用加减消元法求解可得问题的答案【解答】解：x+2y=-22x+y=2，2，得：3y6，即y2，将y2代入，
19、得：2x+（2）2，解得：x2，所以方程组的解为x=2y=-2故答案为x=2y=-2【点评】本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键12（4分）（2021广东）把抛物线y2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y2x2+4x【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答【解答】解：把抛物线y2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y2（x+1）2+13，即y2x2+4x故答案为y2x2+4x【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直
20、接代入函数解析式求得平移后的函数解析式13（4分）（2021广东）如图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC4分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 4【分析】阴影部分的面积等于ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案【解答】解：等腰直角三角形ABC中，A90，BC4，BC45，ABAC=22BC22BECE=12BC2，阴影部分的面积SSABCS扇形BDES扇形CEF=122222-452236024，故答案为4【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中14（4分）（20
21、21广东）若一元二次方程x2+bx+c0（b，c为常数）的两根x1，x2满足3x11，1x23，则符合条件的一个方程为 x220（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一【解答】解：若一元二次方程x2+bx+c0（b，c为常数）的两根x1，x2满足3x11，1x23，满足条件分方程可以为：x220（答案不唯一），故答案为：x220（答案不唯一）【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题15（4分）（2021广东）若x+1x=136且0x1，则x2-1x2=-6536【分析】根据题意得到x-1x0，根据完全平方公式求出x-1x
22、，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可【解答】解：0x1，x1x，x-1x0，x+1x=136，（x+1x）2=16936，即x2+2+1x2=16936，x22+1x2=16936-4，（x-1x）2=2536，x-1x=-56，x2-1x2=（x+1x）（x-1x）=136（-56）=-6536，故答案为：-6536【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键16（4分）（2021广东）如图，在ABCD中，AD5，AB12，sinA=45过点D作DEAB，垂足为E，则sinBCE【分析】过点B作BFEC于点F，根据DEAB，AD5，sinA=DEAD=45
23、，可得DE4，根据勾股定理可得AE3，再根据平行四边形的性质可得ADBC5，ABCD12，BEABAE1239，根据tanCEBtanDCE，可得EF3BF，再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果【解答】解：如图，过点B作BFEC于点F，DEAB，AD5，sinA=DEAD=45，DE4，AE=AD2-DE2=3，在ABCD中，ADBC5，ABCD12，BEABAE1239，CDAB，DEAEDC90，CEBDCE，tanCEBtanDCE，BFEF=DECD=412=13，EF3BF，在RtBEF中，根据勾股定理，得EF2+BF2BE2，（3BF）2+BF292，解得，BF=91010，s
24、inBCE=BFBC=910105=91050故答案为：91050【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF3BF是解决本题的关键17（4分）（2021广东）在ABC中，ABC90，AB2，BC3点D为平面上一个动点，ADB45，则线段CD长度的最小值为 5-2【分析】根据ADB45，AB2，作ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小将问题转化为点圆最值可证得AOB为等腰直角三角形，OBOA=2，同样可证OBE也为等腰直角三角形，OEBE1，由勾股定理可求得OC的长为5，最后CD最小值为OCOD=5-2【解答】解：如图所示ADB
25、45，AB2，作ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小ADB45，AOB90，AOB为等腰直角三角形，AOBOsin45AB=2OBA45，ABC90，OBE45，作OEBC于点E，OBE为等腰直角三角形OEBEsin45OB1，CEBCBE312，在RtOCD中，OC=OE2+CE2=1+4=5当O、D、C三点共线时，CD最小为CDOCOD=5-2故答案为：5-2【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧三、解答题（一）：本大题共
26、3小题，每小题6分，共18分.18（6分）（2021广东）解不等式组2x-43(x-2)4xx-72【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【解答】解：解不等式2x43（x2），得：x2，解不等式4xx-72，得：x1，则不等式组的解集为1x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19（6分）（2021广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其
27、竞赛成绩如图：（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；（2）利用样本估计总体思想求解可得【解答】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，平均数是：802+853+908+955+10022+3+8+5+2=90.5；（2）根据题意得：6008+5+220=450（人），答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人
28、【点评】本题考查中位数、用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题20（6分）（2021广东）如图，在RtABC中，A90，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CEAB（1）若AE1，求ABD的周长；（2）若AD=13BD，求tanABC的值【分析】（1）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；（2）设ADx，则BDCD3x，AC4x，由勾股定理可表示出AB22x，从而可计算出tanABC=ACAB=4x22x=2【解答】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，BDCD，CABDAB+AD+BD
29、AB+AD+DCAB+AC，ABCE，CABDAC+CEAE1，故ABD的周长为1（2）设ADx，BD3x，又BDCD，ACAD+CD4x，在RtABD中，AB=BD2-AD2=(3x)2-x2=22xtanABC=ACAB=4x22x=2【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关键四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。21（8分）（2021广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4x图象的一个交点为P（1，m）（1）求m的值；（2）若PA2AB，求k的
30、值【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值【解答】解：（1）P（1，m）为反比例函数y=4x图象上一点，代入得m=41=4，m4；（2）令y0，即kx+b0，x=-bk，A（-bk，0），令x0，yb，B（0，b），PA2AB，由图象得，可分为以下两种情况：B在y轴正半轴时，b0，PA2AB，过P作PHx轴交x轴于点H，又B1OA1H，PA1OB1A1O，A1OB1A1HP，A1B1A1P=A1OA1H=B1OPH=12，B1O=12PH412=2，b2，A1OOH1，|-bk|1，k2；B在y轴负半轴时
31、，b0，过P作PQy轴，PQB2Q，A2OB2Q，A2B2OAB2Q，A2OB2PQB2，A2B2PB2=13=A2OPQ=B2OB2Q，AO|-bk|=13PO=13，B2O=13B2Q=12OQ|b|2，b2，k6，综上，k2或k6【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得AO的长度的解题的关键22（8分）（2021广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商
32、家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50x65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50x65）时，每天可售1002（x50）盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范
33、围求利润的最大值【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a10）元，则8000a=6000a-10，解得：a40，经检验a40是方程的解，猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）由题意得，当x50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50x65）时，每天可售1002（x50）盒，yx1002（x50）40x1002（x50）2x2+280x8000，配方，得：y2（x70）2+1800，x70时，y随x的增大而增大，当x65时，y取最大值，最大值为：2（6570）2+18001750（元）答：y关于x的函数解析式为
34、y2x2+280x8000（50x65），且最大利润为1750元【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式23（8分）（2021广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点连接BE，将ABE沿BE折叠得到FBE，BF交AC于点G，求CG的长【分析】延长BF交CD于H，连接EH证明EDHBAE，推出EDAB=DHEA=12，推出DH=14，CH=34，由CHAB，推出CGGA=CHAB=34，可得结论【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH四边形ABCD是正方形，ABCD，DDAB90，ADCDAB1，
35、AC=AD2+CD2=12+12=2，由翻折的性质可知，AEEF，EABEFB90，AEBFEB，点E是AD的中点，AEDEEF，DEFH90，在RtEHD和RtEHF中，EH=EHED=EF，RtEHDRtEHF（HL），DEHFEH，HEB90，DEH+AEB90，AEB+ABE90，DEHABE，EDHBAE，EDAB=DHEA=12，DH=14，CH=34，CHAB，CGGA=CHAB=34，CG=37AC=327【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出DH，CH，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可五、解答题（三
36、）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。24（10分）（2021广东）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，ABC90，点E、F分别在线段BC、AD上，且EFCD，ABAF，CDDF（1）求证：CFFB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF2，DFE120，求ADE的面积【分析】（1）先判断出DFE2EFC，同理判断出AFE2BFE，进而判断出2BFE+2EFC180，即可得出结论；（2）取AD的中点O，过点O作OHBC于H，先判断出OH=12（AB+CD），进而判断出OH=12AD，即可得出结论；（3）先求出CFE60，CE23，再判断出四边形CEMD是矩形，得出
37、DM23，过点A作ANEF于N，同理求出AN=233，即可得出结论【解答】（1）证明：CDDF，DCFDFC，EFCD，DCFEFC，DFCEFC，DFE2EFC，ABAF，ABFAFB，CDEF，CDAB，ABEF，EFBAFB，AFE2BFE，AFE+DFE180，2BFE+2EFC180，AEF+EFC90，BFC90，CFBF；（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OHBC于H，OHC90ABC，OHAB，ABCD，OHABCD，ABCD，ABCD，四边形ABCD是梯形，点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，OH=12（AB+CD），ABAF，CDDF，OH=12（AF
38、+DF）=12AD，OHBC，以AD为直径的圆与BC相切；（3）如图2，由（1）知，DFE2EFC，DFE120，CFE60，在RtCEF中，EF2，ECF90CFE30，CF2EF4，CE=CF2-EF2=23，ABEFCD，ABC90，ECDCEF90，过点D作DMEF，交EF的延长线于M，M90，MECDCEF90，四边形CEMD是矩形，DMCE23，过点A作ANEF于N，四边形ABEN是矩形，ANBE，由（1）知，CFB90，CFE60，BFE30，在RtBEF中，EF2，BEEFtan30=233，AN=233，SADESAEF+SDEF=12EFAN+12EFDM=12EF（AN+
39、DM）=122（233+23）=833【点评】此题是圆的综合题，主要考查了平行线的性质，切线的判定，锐角三角函数，矩形的判定，作出辅助线求出DM是解本题的关键25（10分）（2021广东）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点（1，0），且对任意实数x，都有4x12ax2+bx+c2x28x+6（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令4x122x28x+6，解之
40、可得交点为（3，0），则二次函数必过（3，0），又过（1，0），则把两点坐标代入解析式可得yax22ax3a，又ax22ax3a4x12，整理可得ax22ax4x+123a0，所以a0且0，则可得a1，从而求得二次函数解析式；（2）由题意可得A（3，0），C（0，3），设点M坐标为（m，m22m3），N（n，0）根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：AC为对角线则有xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN；AM为对角线则有xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN；AN为对角线则有xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM【解答】解：（1）不妨令4x122x28x+6，解
41、得：x1x23，当x3时，4x122x28x+60yax2+bx+c必过（3，0），又yax2+bx+c过（1，0），a-b+c=09a+3b+c=0，解得：b=-2ac=-3a，yax22ax3a，又ax22ax3a4x12，ax22ax3a4x+120，整理得：ax22ax4x+123a0，a0且0，（2a+4）24a（123a）0，（a1）20，a1，b2，c3该二次函数解析式为yx22x3（2）令yx22x3中y0，得x3，则A点坐标为（3，0）；令x0，得y3，则点C坐标为（0，3）设点M坐标为（m，m22m3），N（n，0），根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：当AC为对角
42、线时，xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，即3+0=m+n0-3=m2-2m-3+0，解得：m10（舍去），m22，n1，即N1（1，0）当AM为对角线时，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN，即3+m=0+n0+m2-2m-3=-3+0，解得：m10（舍去），m22，n5，即N2（5，0）当AN为对角线时，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，即3+n=0+m0+0=-3+m2-2m-3，解得：m11+7，m21-7，n=7-2或2-7，N3（7-2，0），N4（2-7，0）综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（7-2，0）或（2-7，0）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解
