1、思想方法集训思想方法训练1函数与方程思想思想方法训练第2页一、能力突破训练1.已知向量a=(1,1),b=(3,m),若a(a-b),则实数m的值是()A.-1B.1C.-2D.2答案:A2.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案:D解析:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f
2、(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.3.已知函数f(x)=x2+ex-12(x0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12,作函数M(x)=e-x-12的图象,显然当a0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则lna12,则0ae.综上ae.故选B.4.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,y,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立
3、.若数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=1f(-2-an)(nN*),则a2 017的值为()A.2 209B.3 029C.4 033D.2 249答案:C解析:根据题意可设函数f(x)=12x,则a1=f(0)=1.因为f(an+1)=1f(-2-an)(nN*),所以12an+1=12an+2,所以an+1=an+2.所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列.所以an=2n-1,所以a2017=4033.5.设等差数列an的公差为d(d0),其前n项和为Sn.若a42=a102,2S12=S2+10,则d的值为.答案:-10解析:由a42=a102,2S12=S2+10,得
4、(a1+3d)2=(a1+9d)2,212a1+12112d=2a1+d+10,解得d=-10.6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.答案:1,+)解析:以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a,由y=x2,x2+(y-a)2=a,得y2+(1-2a)y+a2-a=0.即(y-a)y-(a-1)=0,则由题意得a0,a-10,解得a1.7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上,以点P为圆心,以PF为半径的圆P与y轴交于A,B两点,O为坐标原点.若OB=7OA,则圆P的半径r=.答案:5解析:设点P(x0,y0)
5、,则圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(x0+1)2.令x=0,则yB=y0+2x0+1,yA=y0-2x0+1.又OB=7OA,则y0+2x0+1=7(y0-2x0+1),又x0=y024,联立得y0=4,x0=4,则r=x0+1=5.8.设函数f(x)=cos2x+sin x+a-1,已知不等式1f(x)174对一切xR恒成立,求a的取值范围.解:f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-sinx-122+a+14.因为-1sinx1,所以当sinx=12时,函数有最大值f(x)max=a+14,当sinx=-1时,函数有最小值f(x)min=a-
6、2.因为1f(x)174对一切xR恒成立,所以f(x)max174,且f(x)min1,即a+14174,a-21,解得3a4,故a的取值范围是3,4.9.在ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=3.(1)若ABC的面积等于3,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的面积.解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.因为ABC的面积等于3,所以12absinC=3,得ab=4.联立a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBc
7、osA=2sinAcosA,当cosA=0时,A=2,B=6,a=433,b=233,当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.故ABC的面积S=12absinC=233.10.某地区要在如图所示的一块不规则用地上规划建成一个矩形商业楼区,余下的作为休闲区,已知ABBC,OABC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲线OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果矩形的两边分别落在AB,BC上,且一个顶点在曲线OC段上,应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?并求出最大的用地面积.解:以点O为原点,O
8、A所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),设抛物线的方程为x2=2py,把点C(2,4)代入抛物线方程得p=12,所以曲线段OC的方程为y=x2(x0,2).设点P(x,x2)(x0,2)在OC上,过点P作PQAB于点Q,PNBC于点N,故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x2)(x0,2).整理,得S=-x3-2x2+4x+8,令S=-3x2-4x+4=0,得x=23或x=-2(舍去),当x0,23时,S0,S是关于x的增函数,当x23,2时,S0,数列Sn是递增数列.当n3时,(Sn)min=S3=31
9、0,依题意,得m310,故m的最大值为310.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为103时,求k的值.解:(1)由题意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2.所以|MN|=(x2-x1)2+
10、(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k|1+k2,所以AMN的面积为S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=1.所以k的值为1或-1.13.已知直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.解:由y=kx+1,x2-y2=1(x-1)消去y,得(k2-1)x2+2kx+2=0.直线m与双曲线的左支有两个交点,方程有两个不相等的负实数根.=4k2+8(1-k2)0,x1+x2=2k1-k20,解得1k2.设点M(x0,y0),则x0=x1+x22=k1-k2,y0=kx0+1=11-k2.由P(-2,0),Mk1-k2,11-k2,Q(0,b)三点共线,得出b=2-2k2+k+2,设f(k)=-2k2+k+2=-2k-142+178,则f(k)在(1,2)上为减函数,f(2)f(k)f(1),且f(k)0.-(2-2)f(k)0或0f(k)1.b2.b的取值范围是(-,-2-2)(2,+).
