1、1.1.2空间向量基本定理学 习 任 务核 心 素 养1理解共面向量定理以及空间向量基本定理,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题(重点、易混点)2理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念,并能应用其解决有关问题(难点)1通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习,培养数学抽象素养2借助任一空间向量可用一组基向量线性表示,提升数学运算素养学生小李参加某大学自主招生考试,在一楼咨询处小李得知:面试地点由此向东100米,再向南150米,然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试设e1是向东的单位向量,e2是向南的单位向量,e3是向上的单位向量假定每层楼高为3米,你能用e
2、1,e2,e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗?知识点1共线向量基本定理如果a0且ba,则存在唯一的实数,使得ba两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在唯一的实数,使得ab在此充要条件中,要特别注意b0,若不加b0,则该充要性不一定成立例如,若a0,b0,则ab,但不存在,该充要性也就不成立了1若非零向量e1,e2不共线,则使ke1e2与e1ke2共线的k的值为_1或1若ke1e2与e1ke2共线,则有ke1e2(e1ke2)又e1,e2不共线,所以所以或所以k的值为1或1知识点2共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使c
3、xayb1平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件,在空间中能成立吗?提示平面向量基本定理中要求向量a与b不共线,在空间中仍然成立2对于空间的任意三个向量a,b b,2a3b,它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量A根据共面向量定理知a,b,2a3b一定共面知识点3空间向量基本定理(1)定理:如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得pxaybzc特别地,当a,b,c不共面时,可知xaybzc0时,xyz0(2)相关概念线性组合:表达式xaybzc一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式基底
4、:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合a,b,c,常称为空间向量的一组基底基向量:基底a,b,c中a,b,c都称为基向量分解式:如果pxaybzc,则称xaybzc为p在基底a,b,c下的分解式2平面向量的基底要求两个基向量不共线,那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件?提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底,基底选定后,空间任意向量均可由基底唯一表示3基向量和基底一样吗?0能否作为基向量?提示基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量,因为0与其他任意两个非零向量共面,所以0不能作为基向量拓展:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实
5、数组x,y,z,使xyz,当且仅当xyz1时,P,A,B,C四点共面3思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)若a,b,c为空间一个基底,则a,b,2c也可构成空间一个基底()(2)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面()(3)若a,b是两个不共线的向量,且cab(,R且0),则a,b,c构成空间的一个基底()答案(1)(2)(3)提示(1)a,b,c为空间一个基底,则a,b,c不共面,a,b,2c也不共面,故a,b,2c也构成空间一个基底(2)由共面定理知(2)正确(3)由cab知a,b,c共面,不能构成基底4如图,点M为OA的中点,为空间的一组基底,xyz,
6、则有序实数组(x,y,z)_,x,y0,z1,即(x,y,z) 类型1向量共线问题【例1】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E在A1D1上,且2,F在对角线A1C上,且求证:E,F,B三点共线证明设a,b,c2,b,()()abcabc又bcaabc,E,F,B三点共线用向量法证明三点共线所选取的向量是唯一的吗?提示不是的如本例中,可选取与,与或与等跟进训练1如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线解与共线证明:M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,又,22()2,即与共线 类型2共面
7、向量定理及应用【例2】已知A,B,C三点不共线,平面ABC外的一点M满足(1)判断,三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)易知3,()(),向量,共面(2)由(1)知向量,共面,三个向量的基线又有公共点M,M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用共面向量定理,即其中一个向量能用另两个向量线性表示,通常应结合图形,选择其中某两个向量作为基向量,其他向量都用这两个基向量线性表示(2)选择目标向量以外的一组基底,通过待定系数法,建立这三个向量的一个线性关系式跟进训练2如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC
8、,PD,点E,F,G,H分别是PAB,PBC,PCD,PDA的重心,分别延长PE,PF,PG,PH,交对边于M,N,Q,R,并顺次连接MN,NQ,QR,RM应用共面向量定理证明:E,F,G,H四点共面证明E,F,G,H分别是所在三角形的重心,M,N,Q,R为所在边的中点,顺次连接M,N,Q,R,所得四边形为平行四边形,且有,四边形MNQR为平行四边形,()()(),由共面向量定理得,共面,所以E,F,G,H四点共面 类型3空间向量基本定理及其应用【例3】(1)若a,b,c是空间的一个基底,试判断ab,bc,ca能否作为该空间的一个基底(2)如图,在三棱柱ABCABC中,已知a,b,c,点M,N
9、分别是BC,BC的中点,试用基底a,b,c表示向量,1构成空间向量的基底唯一吗?是否共面?提示不唯一,不共面2空间向量的基底选定后,空间任一向量怎样用基底表示?提示基底选定后,可以结合图形,利用三角形法则和平行四边形法则,寻求向量和基向量的关系,利用向量的线性运算将向量用基底表示出来解(1)假设ab,bc,ca共面则存在实数,使得ab(bc)(ca),abba()ca,b,c为基底,a,b,c不共面此方程组无解,ab,bc,ca不共面ab,bc,ca可以作为空间的一个基底(2)()()ba(cb)bacbabcab()ab(cb)abc1(变条件)若把本例3(2)中的a改为a,其他条件不变,则
10、结果又是什么?解()b(ab)ab()a(cb)abc2(变换条件、改变问法)如图所示,本例3(2)中增加条件“P在线段AA上,且AP2PA”,试用基底a,b,c表示向量解()()(acb)caabc1基底的判断方法判断给出的某一向量组能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断2用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则,借助向量的线性运算把所求向量用已知基向量表示出来提醒:基底中不能有零向量,因为零向量与任意一个非零向量都为共
11、线向量跟进训练3如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1,设a,b,c,P是CA1的中点,M是CD1的中点用基底a,b,c表示以下向量:(1);(2)解在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,连接AC,AD1(1)()()(abc)(2)()abc 类型4空间向量基本定理的综合应用【例4】(对接教材人教B版P15例3)三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1CAA160,则cos,_如图所示,设该三棱柱的棱长为1,依题意有,则|2()222222cos 603,|1|2()22222222,又()()111,所以cos,空间向量中,有三个不共面向量的长度和相互间的角
12、度都已知,则以这三个向量为一组基底,可研究其他向量之间的数量积、长度、夹角等问题.跟进训练4如图所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,ADCD1,AA1AB2,E为棱AA1的中点证明:B1C1CE证明因为()()()()(),又()20(1)1,()0(1)01,()0, 所以1(1)00,因此B1C1CE1O,A,B,C为空间四点,且向量,不能构成空间的一个基底,则()A,共线B,共线C,共线DO,A,B,C四点共面D由,不能构成基底知,三向量共面,所以O,A,B,C四点共面2给出下列命题:若p与a,b共面,则pxayb(x,yR);若pxayb
13、(x,yR),则p与a,b共面;若a,b共线,则a与b所在直线平行;若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;若向量a,b,c共面,则它们所在的直线共面真命题的个数为()A0B1C2D3B由共面向量定理可知,a,b共线时,错误,正确;若a,b共线,则a与b可能在同一条直线上,所以错误;当b0时,a与c不一定共线,所以错误;向量a,b,c共面是指三个向量能平移到同一个平面上,但三个向量所在的直线可以共面也可以异面,所以错误故真命题的个数为13(多选题)已知下列命题,正确的有()A若A,B,C,D是空间任意四点,则有0B|ab|a|b|是a,b共线的充要条件C若a,b,c是空间三向量,则|ab|ac
14、|cb|D对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若xyz(其中x,y,zR),则P,A,B,C四点共面ACB当a与b反向时,|ab|a|b|,所以B不成立D当xyz1时,P,A,B,C四点共面,否则不共面,故D错误4从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分别取a,b,c,点G在PQ上,且PG2GQ,H为RS的中点,则_(用a,b,c表示)abc(bc)a5设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG3GG1,若xyz,则2x4y2z_2如图,由已知() ()(),xyz,2x4y2z2回顾本节知识,自我完成以下问题:1用基底表示向量应注意哪些问题?提示(1)明确目标,向量表示过程中可能出现新的向量,要逐步拆分,都用基向量表示;(2)结合图形的几何性质,利用向量的线性运算;(3)只要基底选定,空间任一向量用基底表达的形式是唯一的2用基底表示向量有哪些关键步骤?提示(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果(3)下结论:利用空间向量的一个基底a,b,c可以表示出空间所有向量表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量