1、1.1.2空间向量基本定理学 习 任 务核 心 素 养1理解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题(重点、易混点)2理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题(难点)1通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养2借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东100米，再向南150米，然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量假定每层楼高为3米，你能用e
2、1，e2，e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗？知识点1共线向量基本定理如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使得ab在此充要条件中，要特别注意b0，若不加b0，则该充要性不一定成立例如，若a0，b0，则ab，但不存在，该充要性也就不成立了1若非零向量e1，e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k的值为_1或1若ke1e2与e1ke2共线，则有ke1e2(e1ke2)又e1，e2不共线，所以所以或所以k的值为1或1知识点2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c
3、xayb1平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？提示平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立2对于空间的任意三个向量a，b b，2a3b，它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量A根据共面向量定理知a，b，2a3b一定共面知识点3空间向量基本定理(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc特别地，当a，b，c不共面时，可知xaybzc0时，xyz0(2)相关概念线性组合：表达式xaybzc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式基底
4、：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合a，b，c，常称为空间向量的一组基底基向量：基底a，b，c中a，b，c都称为基向量分解式：如果pxaybzc，则称xaybzc为p在基底a，b，c下的分解式2平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示3基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？提示基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实
5、数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面3思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()(3)若a，b是两个不共线的向量，且cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底()答案(1)(2)(3)提示(1)a，b，c为空间一个基底，则a，b，c不共面，a，b，2c也不共面，故a，b，2c也构成空间一个基底(2)由共面定理知(2)正确(3)由cab知a，b，c共面，不能构成基底4如图，点M为OA的中点，为空间的一组基底，xyz，
6、则有序实数组(x，y，z)_，x，y0，z1，即(x，y，z) 类型1向量共线问题【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c2，b，()()abcabc又bcaabc，E，F，B三点共线用向量法证明三点共线所选取的向量是唯一的吗？提示不是的如本例中，可选取与，与或与等跟进训练1如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线解与共线证明：M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，又，22()2，即与共线 类型2共面
7、向量定理及应用【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)易知3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，三个向量的基线又有公共点M，M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用共面向量定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式跟进训练2如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC
8、，PD，点E，F，G，H分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM应用共面向量定理证明：E，F，G，H四点共面证明E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有，四边形MNQR为平行四边形，()()()，由共面向量定理得，共面，所以E，F，G，H四点共面 类型3空间向量基本定理及其应用【例3】(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底(2)如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N
9、分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示不唯一，不共面2空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？提示基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来解(1)假设ab，bc，ca共面则存在实数，使得ab(bc)(ca)，abba()ca，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底(2)()()ba(cb)bacbabcab()ab(cb)abc1(变条件)若把本例3(2)中的a改为a，其他条件不变，则
10、结果又是什么？解()b(ab)ab()a(cb)abc2(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底a，b，c表示向量解()()(acb)caabc1基底的判断方法判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断2用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则，借助向量的线性运算把所求向量用已知基向量表示出来提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共
11、线向量跟进训练3如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)解在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连接AC，AD1(1)()()(abc)(2)()abc 类型4空间向量基本定理的综合应用【例4】(对接教材人教B版P15例3)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则cos，_如图所示，设该三棱柱的棱长为1，依题意有，则|2()222222cos 603，|1|2()22222222，又()()111，所以cos，空间向量中，有三个不共面向量的长度和相互间的角
12、度都已知，则以这三个向量为一组基底，可研究其他向量之间的数量积、长度、夹角等问题.跟进训练4如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点证明：B1C1CE证明因为()()()()()，又()20(1)1，()0(1)01，()0， 所以1(1)00，因此B1C1CE1O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线B，共线C，共线DO，A，B，C四点共面D由，不能构成基底知，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面2给出下列命题：若p与a，b共面，则pxayb(x，yR)；若pxayb
13、(x，yR)，则p与a，b共面；若a，b共线，则a与b所在直线平行；若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面真命题的个数为()A0B1C2D3B由共面向量定理可知，a，b共线时，错误，正确；若a，b共线，则a与b可能在同一条直线上，所以错误；当b0时，a与c不一定共线，所以错误；向量a，b，c共面是指三个向量能平移到同一个平面上，但三个向量所在的直线可以共面也可以异面，所以错误故真命题的个数为13(多选题)已知下列命题，正确的有()A若A，B，C，D是空间任意四点，则有0B|ab|a|b|是a，b共线的充要条件C若a，b，c是空间三向量，则|ab|ac
14、|cb|D对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面ACB当a与b反向时，|ab|a|b|，所以B不成立D当xyz1时，P，A，B，C四点共面，否则不共面，故D错误4从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则_(用a，b，c表示)abc(bc)a5设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则2x4y2z_2如图，由已知() ()()，xyz，2x4y2z2回顾本节知识，自我完成以下问题：1用基底表示向量应注意哪些问题？提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的2用基底表示向量有哪些关键步骤？提示(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量