1、空间“角度”、“距离”问题一、情景导入：设直线l，m的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，a bu v（1）平行关系线线平行ml/baba/线面平行/l0uaua面面平行/vuvu/复习回顾：设直线l，m的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，a bu v（2）垂直关系线线垂直 ml0baba线面垂直 luaua/面面垂直 0vuvu异面直线所成角的范围：0,2ABCD结论：coscos,CD AB|题型一：线线角一.利用空间向量求空间角二、新课讲授u auasina ua u题型二：线面角设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 ，且直线L与平面 所成的角为 au四棱锥PABCD中，PD平面
2、ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60.在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值 例1【思路点拨】建立坐标系写出点的坐标求出PA与BC 的坐标计算PA与BC 的夹角典例剖析【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由 PD平面 ABCD，得PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角，PAD60.在 RtPAD 中，由 AD2，得 PD2 3.P(0,0,2 3)(2)PA(2,0，2 3)
3、，BC(2，3,0)，cosPA，BC 22032 304 13 1313.异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 1313.例2【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时利用平面A1ABB1的法向量n(，x，y)求解 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角建立如右所示空间直角坐标系：AB(0，a,0)，AA1(0,0，2a)，AC1(32 a，a2，2a)设侧面 ABB1A1 的法向量 n(，x，y)，nAB 0 且 nAA1 0.ax0 且 2ay0.xy0.故 n(，0,0)A
4、C1(32 a，a2，2a)，cosAC1，n nAC1|n|AC1|2|.|cosAC1，n|12.AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30.二.立体几何中的空间距离1.两点之间的距离；2.点到直线之间的距离；3.异面直线之间的距离；4.点到平面之间的距离；5.两个平面之间的距离；学习重点|sin|nPAnPAnPAnPAPAPOd如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离nAPO题型四、求点到平面的距离【例 3】.(用向量法求距离):1.如图,ABCD 是矩形,PD 平面 ABCD,PDDCa,2A
5、Da,、MN 分别是、ADPB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.APDCBMN解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)2aa2aaa、MN 分别是、ADPB的中点,2(,0,0)2Ma211(,)222Naaa 2(,0)2MCa a,11(0,)22MNaa,2(,0,0)2MAa 设(,)nx y z为平面 MNC 的一个法向量,nMN nMC 202n MCaxay 且 022aan MNyz APDCBMNzxy解得22 xyz ,可取(2,1,1)m MA在 n上的射影长2MA nadn即点
6、 A 到平面 MNC 的距离为 2a.总结 求点面距时，(一)可由点 P 向平面作垂线，找出垂足 P，转化为求线段长 PP；(二)可用等积法求解；(三)设平面 的法向量为 n，平面 内已知点 A，则点 P到平面 的距离 d|PAn|n|；(四)可转化为线面距，利用过已知点与已知平面平行的直线上任一点到平面距离都相等求解ABCD1A1B1C1DEyz1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.u建立坐标系1111.A E=(-1,0),2A B=(0,1,-1),设=(1,y,z)为面A BE的向量解法:uu11A E=0,由A B=0
7、,变式练习 11A B=0,1,0,.1111A B u2 B 到面A BE的距离为 d=3u得 u=(1,2,2),2.090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCA BC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111A BACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F通过上述典例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4写出几何意义下的结论.1.（2014长春高三检测）在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BC2，DD1
8、3，则 AC 与 BD1所成角的余弦值为()A.0 B.3 7070 C.3 7070 D.7070 2.（2017全国卷二）在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中 点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是()A30 B45 C60 D75 A A 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）三.课堂小结：选做题：已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离四、作业布置：课本P121 第 2、6 题祝同学们学习进步
