1、第一章立体几何初步7 简单几何体的再认识第20课时 球基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.能识别球的表面积和体积公式.2.会应用球的表面积和体积公式进行计算和解决实际问题.3.会解决与球有关的组合体以及内切球和外接球的表面积和体积计算问题.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1若某星球的半径是地球半径的一半，则地球的体积是该星球体积的()A4 倍B8 倍C.14D.18B解析：设该星球的半径为 r，则地球的半径为 2r，所以地球的体积 V143(2r)3，该星球的体积 V243r3，因此地球的体积是该星球体积的 8 倍2若长方体的一个顶点上三条棱长分别
2、是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A25B50C125D150B解析：由题意，知该球为长方体的外接球，设球的半径为 R，则(2R)2324252，R2252，S 球4R24252 50.3一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A.66B.2C.22D.3 A解析：由表面积相等得到正方体的棱长 a 和球的半径 r 的关系a 63 r，再由体积公式求得体积比为 66.4一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是()A.1003 cm3B.2083 cm3C.5003 cm3D.416 133 cm3
3、C解析：根据球的截面的性质，得球的半径 R 32425(cm)，所以 V 球43R35003(cm3)5已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则()A以上四个图形都是正确的B只有(2)(4)是正确的C只有(4)是错误的D只有(1)(2)是正确的C解析：棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，过棱锥任何三个顶点的截面都不过球心6一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323，那么这个三棱柱的体积是()A96 3B16 3C24 3D48 3D解析：由43R3323，所以 R2.所以正三棱柱的高 h4.设其底面边长
4、为 a，则13 32 a2，所以 a4 3.所以 V 34(4 3)2448 3.7已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 1616 3，则球 O 的体积等于()A.4 23B.16 23C.32 23D.64 23D解析：由题意，知当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥如图，设球 O 的半径为 R，则 AC2R，SOR，该四棱锥的底面边长为 AB 2R，则有(2R)2412 2R 22 R2R21616 3，解得 R2 2，球 O 的体积是43R364 23，故选D.8若等边圆柱(轴截面是正方
5、形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS 球S 圆柱S 正方体 BS 正方体S 球S 圆柱CS 圆柱S 球S 正方体 DS 球S 正方体S 圆柱A解析：设等边圆柱底面圆半径为 r，球半径为 R，正方体棱长为 a，则 r22r43R3a3，Rr332，ar32，S 圆柱6r2，S 球4R2，S 正方体6a2，S球S圆柱4R26r223Rr23 231.故选 A.二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)9把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为_cm.6解析：设大铁球的半径为 R cm，由43R3436
6、2343823431023，得 R3216，得 R6.10已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，如图，SA平面ABC，ABBC，SA1，ABBC2，则球 O 的表面积为_.9解析：由题知：SAC，SAB，SBC 均为直角三角形，O是 SC 的中点，从而 OBOA12SCOSOC32，所以球 O 的表面积为 9.11已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_.13解析：设球心为 O1，半径为 r1，圆锥底面圆圆心为 O2，半径为 r2，则有 3164r21r22，即 r2
7、 32 r1，所以 O1O2 r21r22r12，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为 h1，h2，则h1h2r1r12r1r1213.三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积 V43r3r2l4313123133.13(13 分)一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49 cm2 和 400 cm2，求球的表面积解：(1)当
8、截面在球心的同侧时，球的轴截面如图所示，由球的截面性质知，AO1BO2，且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1AO1，OO2BO2.设球的半径为 R.因为 O2B249，所以 O2B7 cm.因为 O1A2400，所以 O1A20 cm.设 OO1x cm，则 OO2(x9)cm.在 RtOO1A 中，R2x2202，在 RtOO2B 中，R2(x9)272，所以 x220272(x9)2，解得 x15，所以 R2x2202252，所以 R25 cm.(2)当截面位于球的两侧时，球的轴截面如图所示，由已知，类似于(1)得，x220272(9x)2，解得 x15，舍去所以 S 球4R2
9、2 500 cm2.能力提升14(5 分)已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥 SABC 的体积为()A.33B.2 33C.4 33D.5 33C解析：由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D，如图所示，设 SDx，则 DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 SABD 和 CABD.在SAD 和SBD 中，由已知条件可得 ADBDx.又因为 SC 为直径，所以SBCSAC90，所以DBCDAC45，所以在BDC 中，BD4x，所以 x4x，解得 x2，所以 ADBD2，所以ABD 为正三角形，所以 V13SABD44 33.15(15 分)有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径是 r 的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥形容器中取出后，水面高是多少？解：如图作出轴截面，因容器的轴截面是一个正三角形，根据切线的性质知当球在容器内时，水面的深度为 3r，水面半径为 3r，则容器内水的体积为：VV 圆锥V 球13(3r)23r43r353r3.将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 3h3，从而容器内水的体积为：V133h32h19h3，由 VV，所以 h3 15r.谢谢观赏！Thanks!
