1、 2017年河北省献县第一中学高考数学复习数列（理科专用） 数列的相关概念(一)知识梳理1.小学、初中的数列找规律例如：在括号里填上所缺的数（1）（）（）（）（2）4,10，16，22，28，34，（），46，52，（3）2，6，18，54，（），486，2.高中的数列按照一定顺序排成的一列数（1）本质：由1知2，由2知3，由3知4，找规律，就这样进行下去（2）数列的通项公式：数列的通项公式可见，数列本身就是一类特殊的函数，有着与函数相通的一面，所以可以从函数的三个问题入手分析数列问题：对谁运算：对位置n进行运算运算法则:位置n与位置n对应的数之间的关系，即运算结果：这个位置n对应的数（3）.
2、数列的前n项和本身也是一个数列，满足数列的定义本身也是一个函数，依然从函数的三个问题上入手分析对谁运算：对位置n进行运算运算法则：第n个位置与第n个位置及它前面的数的和运算结果：前n个数的和与的关系an (换元 消元)-数列求通项的中心思想由此衍生出两类求通项题型：第一类已知Sn求an；第二类含有Sn和an，那么这种类型有两种解题思路，一是消Sn留an，一是消an留Sn化成第一类。高考试题理科部分1.(2013年新课标1卷理科)12、设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则( )A、Sn为
3、递减数列 B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列分析：1读题即对应: 设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，(首项关系)an1an，bn1，cn1，（由1知2，由2知3，找规律，就这样进行下去，进而运算）2解题即流程：由1知2：1是=2m(m为常数)，2是，由2知3：3是，由3知4：4是，找规律：（m是常数），即动点的轨迹是以点B、C为焦点的椭圆边BC的高h随着n 的增大而增大，（看图说话）故面积是一个递增数列，选B3解题过程：由1知2：1是=2m(m为常数
4、)，2是， 由2知3：3是，由3知4：4是，找规律：（m是常数），即动点的轨迹是以点B、C为焦点的椭圆边BC的高h随着n 的增大而增大，（看图说话）故面积是一个递增数列，选B或者 由，作差，随着n增大，与趋近与相等，高越接近短半轴，面积逐渐增大。2.(2012年新课标卷)（16）数列满足，则的前项和为 分析：1读题即对应: 数列满足，（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）则的前项和为 （运算）2 解题即流程：方法：一般满足，则特殊满足解析：本题是数列求和，应为固定值，所以不论首项取什么，则求和的结果应该都是一样，所以一般满足，则特殊满足，令由1知2：由2知3：由3知4：，继续按照规
5、律找下去，则，则所以数列每4项求和构成以10为首项，以16为公差的前15项和，则来源:Zxxk.Com3解题过程：见上3. (2013年新课标1卷理科) 14、若数列的前n项和为Sn，则数列的通项公式是=_.分析：1读题即对应: 、若数列（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）的前n项和为Sn，an 位置与赋值 则数列的通项公式是=_.(换元 消元)-2解题即流程：核心思想：消元 换元 求值-解方程-等量关系来源:Zxxk.Com3解题过程：由，解得，又，所以，得，所以数列是首项为1，公比为-2的等比数列.故数列的通项公式.4【2015高考新课标，理16】设是数列的前n项和，且，则_
6、分析：1读题即对应: 设是数列（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）的前n项和，且，（首项），（an 位置与赋值）则_(换元 消元)-来源:学,科,网Z,X,X,K2解题即流程：核心思想：消元 换元 求值-解方程-等量关系3解题过程： 二. 等差数列（一）知识梳理等差数列特殊的一次函数（1）本质：一次函数和均匀变化（d），只能进行加减运算（2）通项公式，1，2， 3，4，n（n1）1，类比一次函数的斜率(除法的含义：单位不同，表示一份是多少，竖直位置相对于水平位置的变化率)所以d就是变化率，并且是一个均匀变化的，变化率恒定例如：数列2,4,6,8,10,这一个数列显然是均匀变化的，
7、位置每增加一个，相应位置上的数就增加2，故变化率即公差为2，是一个常数，也就是说变化率是恒定的；而当位置增加2个时，相应的数就增加4，也就是增加了2个变化率，同理，当位置增加3个时，相应的数就增加6，也就是增加了3个变化率数列1,3,5,7,9,这个数列也是均匀变化的，位置每增加一个，相应位置上的数就增加2，所以变化率也是一个常数，是恒定不变的.而当位置增加2个时，相应的数就增加4，也就是增加了2个变化率，位置增加3个时，相应的数就增加6，也就是增加了3个变化率数列5,10,15,20,25,这个数列也是均匀变化的，位置每增加一个，相应位置上的数就增加5，即变化率为常数5，是一个定值.而当位置
8、增加2个时，相应位置上的数就增加10，也就是增加了2个变化率，位置增加3个时，相应位置上的数就增加15，也就是增加了3个变化率由此可见，位置增加了几个，变化率即公差d也就增加了几个，也可以说是两个数之间差了几个数就差几个公差d，而与之间差了n1个数，所以就差了n1个公差d，故等差数列的通项公式（n1）d，即+（n1）ddn+d就相当于函数y=kx+b，其中kd，bd.由定义知a2a1=d a3a2=d anan1=d由此衍生出两类求通项题型:第一类将右边d换成f（n）转化为求f（n）的和，继而求出an 第二类将左边的递推关系anan1=d添加系数，如an1-2an=1，构造等比数列进而求出an
9、由此也衍生出一类求和的方法：裂项相消法-通分的逆运算同理，与之间差了nm个数，所以就差了nm个公差d同，所以有还可以理解为角标和相同，项数相同，则值相同。例如：数列n，当即1+42+3时对应的位置也满足1+42+3；当即2+53+4时对应的位置也满足2+53+4例如：数列3n+2，当即5+148+11时对应的位置也满足1+42+3；当即8+1711+14时对应的位置也满足2+53+4故在等差数列中，若位置满足=p+q，则相应的项就满足，特殊的当m=n时（3）前n项和公式例如：做匀加速直线运动的物体的末速度是关于时间t的一次函数，速度是均匀变化的，所以平均速度平均数个数n事实上，这里边又含有一个
10、均匀变化1,2,3,4,，n1，它们的和等于平均数乘以个数，即，所以又，类比（）例如：函数，当时，函数f(x)也就是数列而，当时，函数g(x)也是数列，而且是均匀变化的，所以是一个等差数列.设等差数列的前n项和是，则，也成等差数列例如：，因为每两个数之间都差3项，所以都差3个公差d，它们也构成了一个等差数列；同理，差的项数相同，所以差的公差d也相同，也构成了一个等差数列；也构成了一个等差数列，而等差数列的和仍然是等差数列.由等差数列的前n项和等于平均数乘以个数以及相差几项就差几个公差d，可知（二）高考试题理科部分1(2013年新课标1卷理科)7、设等差数列an的前n项和为Sn，2，0，3，则
11、( )A、3 B、4 C、5 D、6分析：1读题即对应: 设等差数列（一次函数和均匀变化）an的前n项和为Sn，2，0，3，an （数列的和问题转换成项的问题）则 ( )求值2解题即流程：核心思想：消元 换元 求值-解方程-等量关系3解题过程：【解析】有题意知=0，=（-）=2，= -=3，公差=-=1，3=，=5，故选C. 2 .(2016年新课标1卷)（3）已知等差数列前9项的和为27，则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）971读题即对应: 已知等差数列（一次函数和均匀变化）前9项的和为27，（平均数乘以个数），则（求值）2解题即流程： 求值-解方程-等量关系3解题过程：试题分
12、析：由已知,所以故选C. 3. (2013年新课标2卷理科) （16）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为_.1读题即对应: 等差数列an（一次函数和均匀变化）的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，（平均数乘以个数）则nSn 的最小值为_.（求最值问题）2解题即流程：求最值-函数或 基本不等式（本题走函数的流程）3解题过程：由解得，即，故不妨设，（对谁运算，运算法则：什么也不是，想性质，运算结果：看图说话） 则，令解得x=0或故函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减又，所以当x=7时f(x)取得最小值为49.4. 【2014新课标
13、，理17】已知数列的前项和为，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.分析：1读题即对应: 已知数列的前项和为，（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，），an其中为常数，（I）证明：；（证明的流程）消元换元（II）是否存在，使得为等差数列？（一次函数和均匀变化）并说明理由.2解题即流程：证明流程：先假设结论成立，寻找充要条件或必要条件（也就是间接证法，进行问题的等价转化），缩小范围，逼近答案，再结合条件寻找结论。求值流程：求值-解方程-等量关系3解题过程：:学科网(II) 解：假设为等差数列，设公差为由已知，所以，由（I）知，成立因此存在，使得为等差数
14、列5.【2015高考新课标，理17】为数列的前项和.已知0， =.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.分析：1读题即对应: 为数列（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）的前项和.已知0，(附加条件 各项均为正) =.（an） 消元换元（）求的通项公式；消元换元（）设 ,求数列的前项和.（求和之前通项 再看通项是什么类型决定用什么求和方法）2解题即流程：（）核心思想：消元换元 求值-解方程-等量关系（）通分的逆运算3解题过程：试题解析：（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，（看到式子就要想到通
15、分的逆运算）所以数列前n项和为= =.注意：加减消元的应用6. 【2016高考新课标，理数17】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求； （）求数列的前1 000项和 1读题即对应: 为等差数列（一次函数和均匀变化）的前项和，且（平均数乘以个数）记，其中表示不超过的最大整数，（新定义）如（举例说明 一般满足则特殊满足）（）求；求值-解方程-等量关系来源:Zxxk.Com（）求数列的前1 000项和（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）2解题即流程：（）求值-解方程-等量关系（）看到想分类，从头到尾找临界（由1知2，由2知3，找到规律，就这样进行下去，）3解题过
16、程：试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为 三、等比数列（一）知识梳理等比数列本质特征是“指数运算”和“q的均匀变化”1.本质：指数运算和均匀变化（只能进行乘除运算）2.通项公式：迭代法：由1知2，由2知3，由3，知4，找规律，就这样进行下去n1个q相乘可见，等比数列的通项公式中的公比q的指数是一个等差数列，是均匀变化的，所以性质同等差数列相差几项就相差几个q若m+n=s+t，则3.前n项和前等差后等比=+an 两边同乗公比q，得到q= +an+两式相减，得到由于q为底数，所以，此时，补充q1的情况，由此衍生出一类求和方法：错位相减法来源:学|科|网
17、（二）高考试题理科部分1. (2012年新课标卷)（5）已知为等比数列，则（ ） 1读题即对应: 已知为等比数列，（指数运算和均匀变化），（等量关系）则（ ）2解题即流程：求值-解方程-等量关系3解题过程为等比数列=，又解得或（分类讨论）又，或（由选项可知答案唯一，所以我们选择一种情况讨论）若，则，；2 (2013年新课标2卷理科)（3）等比数列an的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（） （A） （B）（C） （D）1读题即对应: 等比数列（指数运算和均匀变化）an的前n项和为Sn，()已知，（和转换为项） (等量关系)则（）2解题即流程：求值-解方程-
18、等量关系3解题过程3.【2015新课标，理4】已知等比数列满足a1=3， =21，则 ( )A21 B42 C63 D841读题即对应: 已知等比数列（指数运算和均匀变化）满足a1=3，（首项） =21，（等量关系）则 （位置相差几个，公比相差几个）2解题即流程：求值-解方程-等量关系3解题过程【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B4.【2016高考新课标卷，理数16】设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 an的最大值为 1读题即对应: 设等比数列（指数运算和均匀变化）满足a1+a3=10，a2+a4=5，（等量关系）则a1a2 an的最大值为 （
19、最值流程）2解题即流程：求值-解方程-等量关系求最值的流程：函数 基本不等式 本题走函数的流程3解题过程方法一：设则a1a2 an=） （换元法）函数的三个流程：1对谁运算：正整数2 运算法则：二次函数 指数函数3运算结果：看图说话当n=3或者4的时候，t取最大值，此时 方法二： 所以由1知2，由2知3，由3知4，找到规律，就这样进行下去，则，所以从第五项开始每一项均小于1，所以前n项积要最大，则在第三项或第四项取到。5【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：.1读题即对应: 已知数列满足=1，.（由1知2，由2知3，找到
20、规律，就这样进行下去，）（）证明是等比数列，并求的通项公式；（证明的流程）（）证明：.（放缩求和）2解题即流程：证明的流程：证明时可采用下面的流程来解决：先假设结论成立，寻找充要条件或必要条件（也就是间接证法，进行问题的等价转化），缩小范围，逼近答案，再结合条件寻找结论。假设是等比数列，则满足=（）整理得,对应，得3解题过程【解析】：（）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.当n2时，当时，成立，当n2时，对时，6【2016高考新课标，理数17】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求1读题即对应:已知数列（由1知2，由2知3，找规律）的前n项和，（）（消元换元）其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；来源:学科网ZXXK 证明的流程（II）若 ，求求值的流程2解题即流程： （I）证明的流程：证明时可采用下面的流程来解决：先假设结论成立，寻找充要条件或必要条件（也就是间接证法，进行问题的等价转化），缩小范围，逼近答案，再结合条件寻找结论。（II）求值-解方程-等量关系3解题过程【解析】（）由（）得，由得，即，解得
