1、第页共 4 页1河南省实验中学 20212022 学年下期期中试卷理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13.9214.壬辰15.016.1,)e 三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：1zmi，1zmi(3)(1)(3)(3)(13)zimiimm i2 分又(3)zi为纯虚数，30130mm，解得3m 13zi 4 分（）13251122izii ，126|2z；6 分（）13zi，21(1)(3
2、3)1310aaaizi，7 分又复数2z 所对应的点在第一象限，101033010aa，9 分解得：1a 所以实数 a 的取值范围为(1,)10 分18.解：（）连接OB，在 Rt OAB中，ABx，236OAx，设圆柱底面半径为 r，则2362xr，即222436rx，3 分3236()4xxV xrx，其中06x6 分（）由2363()04xV x 及06x，得2 3x，8 分当02 3x时，()0V x，()V x 单调递增；当 2 36x时，()0V x，()V x 单调递减；10 分当2 3x 时，()V x 有极大值，也是最大值为12 3m312 分19.解：（）根据题意，分 2
3、 步进行分析：题号123456789101112选项CDCBCCABBDCA第页共 4 页2在一班 3 名选手中选出 2 人，在二班 5 名选手中选出 2 人，有223530C C 种选法；将选出的 4 人安排跑 1、2、3、4 棒，有4424A 种情况，则有30 24720选派方法；6 分（）根据题意，分 2 步进行分析：二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒，则甲的安排方法有 3 种，在剩下 7 人中选出 3 人，安排在其他三棒，有37210A 种排法，则有3 210630种选派方法.12 分20.（）证明：要证明3322aba bab只需证明22()()(),ab aabbab ab只需
4、证明22()()()0,ab aabbab ab只需证明22()(2)0,ab aabb只需证明2()()0,ab ab而已知,a b 是不相等的正数，所以2()()0ab ab成立，故3322aba bab成立.6 分（）证明：当1n 时，左边1 ，右边1 ，所以等式成立.7 分假设当 nk时，等式成立，即 1 35(1)(21)(1)kkkk L成立.那么，当1nk 时，111 3 5(1)(2(1)1)(1)(1)(2(1)1)kkkkkk L而111(1)(1)(2(1)1)=(1)(1)(21)kkkkkkkk 1(1)1)kk（，这就是说，当1nk 时等式成立.11 分由,可知 1
5、 35(1)(21)(1)nnnn （*nN）成立.12 分21.（）设()1 lnah xfxxx，其中 x0，则 221axahxxxx ，2 分当0a 时，0h x，故 h x 在0,上为减函数；3 分当0a 时，由()0h x可得 xa；若0,xa，则 0h x，故()h x 在0,a上为增函数；第页共 4 页3若,xa ，则 0h x，故()h x 在,a 上为减函数；5 分综上所述：当0a 时，()h x 在0,上为减函数；当0a 时，()h x 在0,a上为增函数，在,a 上为减函数.6 分（）ln1afxxx因为 fx 在0,内单调递减，则 0fx于0,恒成立，故ln1axx在
6、0,恒成立，即 minln1 axx.9 分令 ln1,0u xxxx，则 ln2uxx.令()0u x得21xe，当21(0,)xe时，()0u x，()u x 单调递减；当21(,)xe 时，()0u x，()u x 单调递增.所以min2211()()u xu ee，所以21ae，经检验可得，21ae 时满足条件，因此 a 的取值范围为21(,e.12 分22.解：（）解：因为 2e2xf xxa，则 1exfxa，在直线方程10 xy 中，令0 x，可得1y ，2 分由题意可得 011021fafa ，解得2a.4 分（）因为函数 2e2xf xxa 的定义域为 R，1exfxa.当0a 时，对任意的Rx，0fx，即函数 fx 在 R 上单调递增，此时函数 fx 无极值；6 分当0a 时，由 0fx，可得lnxa，当lnxa 时，0fx，此时函数 fx 单调递增，当lnxa 时，0fx，此时函数 fx 单调递减，8 分故函数 fx 的极大值为1ln22ln2ln13faaaaaaa，整理可得ln10aa，10 分令 ln1g aaa，其中0a，则 110g aa，故函数 g a 在0,上单调递增，且 10g，由ln10aa 可得 1g ag，解得01a.第页共 4 页4因此，实数 a 的取值范围是0,1.12 分
