1、2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线y-4=-3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是()A.30,(-3,4)B.120,(-3,4)C.150,(3,-4)D.120,(3,-4)解析斜率k=-3,过定点(-3,4).答案B2.过点(0,1)且与直线y=12(x+1)垂直的直线方程是()A.y=2x-1B.y=-2x-1C.y=-2x+1D.y=2x+1解析与直线y=12(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.答案C3.直线y=ax+1a(a0)的图形可能是()解析直线y=ax+1a(a0)的斜率
2、是a,在y轴上的截距是1a.当a0时,直线在y轴上的截距1a0,此时直线y=ax+1a过第一、二、三象限;当a0时,直线在y轴上的截距1a0,此时直线y=ax+1a过第二、三、四象限,只有选项B符合.答案B4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=.解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.答案45.直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为y=x+m,又它在y轴上的截距为4,m=4,直线l的方程为y=x+4.答案y=x+46.已知直线l的斜率为16,
3、且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为.解析设直线l的方程为y=16x+b(b0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得12|b|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=1.故直线l的方程为y=16x+1或y=16x-1.答案y=16x+1或y=16x-17.已知ABC的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.解直线AB的斜率kAB=-3-03-(-5)=-38,且直线AB过点A(-5,0),直线AB的点斜式方程为y=-38(x+5),同理:kBC=2+30-3=-53,kAC=2-00+5=2
4、5,直线BC的点斜式方程为y-2=-53x或y+3=-53(x-3),直线AC的点斜式方程为y-2=25x或y=25(x+5).8.已知直线l:y=kx+2k+1.(1)求证:对于任意的实数k,直线l恒过一个定点;(2)当-3x0)的图象有两个交点,则a的取值范围是()A.(1,+)B.(0,1)C.D.(0,1)(1,+)解析y=x+a(a0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a的图象有两个交点,且a0,则根据图象可知a1.故选A.答案A12.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线
5、y=ax与y=x+a大致图象的是()答案BC13.已知直线l过点P(-2,0),直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为.解析设直线l在y轴上的截距为b,则由已知得12|-2|b|=10,b=10.当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k=10-00-(-2)=5.故直线的斜截式方程为y=5x+10.当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k=-10-00-(-2)=-5.故直线的斜截式方程为y=-5x-10.综合可知,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.答案y=5x+10或y=-5x-1014.(2020广东广州二中高二上期中)已
6、知直线l:kx-y+2+4k=0(kR).(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.解(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,要使直线l不经过第四象限,需满足k0,4k+20,解得k0,故k的取值范围是0,+).(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-4k+2k,在y轴上的截距为4k+2,且k0,所以A-4k+2k,0,B(0,4k+2),故S=12|OA|OB|=2(2k+1)2k=24k+1k+42(4+4)=16,当且仅当4k=
7、1k,即k=12时,等号成立.故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=12x+4.学科素养创新练15.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(单位:分钟)与水量y(单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.解当0x40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0x10时,是只进水过程,所以v1=2,当1040时,k=-53,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y=2x,0x10,13x+503,10x40,-53x+2903,40x58.
