1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树吗?B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是增函数D.素数不一定是奇数答案D解析选项A和B不是命题;选项C是假命题;2是素数,但不是奇数,故D项正确.2.下列有关命题的说法错误的是()A.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x1,则x2-3x+20”C.若命题p:xR,使得x2+x+10,则ab”,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案
2、C解析原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此假命题的个数为2.4.已知命题p:x0,x+2,那么命题p为()A.x0,x+2B.x0,x+0,x+2D.x0,x+0,a+b=1时,=(a+b)=2+4,故不存在a,b(0,+),使得=3,即命题q为假命题.7.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对任意x10,3,存在x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析当x0,3时,f(x)min=f(0)=0.当x1,2时,g(x)min=g(2)=-m,由f(x)ming(x)min,得0-
3、m,所以m.故选A.8.已知命题p:存在x(1,2),使得ex-a0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-,e)B.(-,eC.(e2,+)D.e2,+)答案D解析因为p是真命题,所以p是假命题,所以任意x(1,2),有ex-a0,即aex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以ae2.9.已知p:存在xR,mx2+10,q:任意xR,x2+mx+10,若pq为假命题,则实数m的取值范围为()A.m|m2B.m|m-2C.m|m-2或m2D.m|-2m2答案A解析由p:存在xR,mx2+10,可得m0,可得=m2-40,解得-2m2.因为
4、pq为假命题,所以p与q都是假命题.若p是假命题,则有m0;若q是假命题,则有m-2或m2.故符合条件的实数m的取值范围为m2.10.已知p:实数x满足x2-4ax+3a20;q:实数x满足x2-5x+60.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.1,2B.(1,2)C.(2,+)D.(0,1)答案B解析设A=x|x2-4ax+3a20,B=x|x2-5x+60,则A=x|ax3a,B=x|2x3,因为p是q的必要不充分条件,所以BA,所以所以1a1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.(3,+)B.(-,3)C.(4,+)D.(-,4)答案A
5、解析若2xa-x,即2x+xa,设f(x)=2x+x,该函数为增函数,由题意知2x+xa成立,即f(x)a成立能得到x1;反之不成立,因为当x1时,f(x)3,所以a3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.使得“2x”成立的一个充分条件是.答案x0x,等价于x2x2,解得0x”成立的一个充分条件只需为集合x0x的子集即可,故答案可以为x0x1解析当x0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-,0上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x0时,01.16.下列四个命题:“xR,x2-x+10”的否定;“若x2+x-60,则x2”的否命题;在A
6、BC中,“A30”是“sin A”的充分不必要条件;“函数f(x)=tan(x+)为奇函数”的充要条件是“=k(kZ)”.其中真命题的序号是.(真命题的序号都填上)答案解析对于,因为x2-x+1=x-2+0,所以命题“xR,x2-x+10”为假命题,所以命题“xR,x2-x+10”的否定为真命题;对于,由x2+x-6=(x+3)(x-2)0,解得x2或x-3,即命题“若x2+x-60,则x2”的逆命题为真命题,所以其否命题为真命题;对于,例如A=160,此时sinA且0A30,即必要性成立,所以在ABC中,“A30”是“sinA”的充分不必要条件是假命题;对于,由函数f(x)=tan(x+)为
7、奇函数可得=k或=+k(kZ),所以该命题为假命题.故答案为.三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题.(1)若-=,则sin =cos ;(2)已知a,b,c,d为实数,若ab,cd,则a+cb+d.解(1)逆命题:若sin=cos,则-=.否命题:若-,则sincos.逆否命题:若sincos,则-.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+cb+d,则ab,cd.否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d.逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或
8、c=d.18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.(2)任意xx|x0,x+2.(3)存在xx|xZ,log2x2.解(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“任意”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题,真命题.19.(本小题满分12分)已知命题:“存在实数xx|-1x1,使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)1时,a2-a,此时集合N=x|2-ax.当a1时,a2
9、-a,此时集合N=x|ax2-a,则解得a0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.解充要条件是G2-4F=1.必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=1,则G2-4F=1.充分性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-G,x1x2=F.因为G2-4F=1,所以|x1-x2|=1.21.(本小题满分12分)已知p:2,q:x2-ax+50.(1)若p 为真,求x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解(1)因为p为真,所以2,所以0,所以
10、(x-2)(x-5)0,解得2x0恒成立,所以对任意x(2,5),ax+,即ax+min,x(2,5),又因为x+2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以a(-,2).22.(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在-1,+)上是增加的;命题q:函数g(x)=+2有零点.(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)是否存在实数c,使得p(q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.解因为f(x)=|2x+3c|=所以f(x)的单调递增区间是.又因为f(x)在-1,+)上是增加的,所以-1,解得c.因为函数g(x)=+2有零点,所以方程+2=0有实数根,即2x2+cx+2=0有实数根,因此c2-160,解得c4或c-4.(1)当命题p和q均为真命题时,应有解得c4.所以c的取值范围为4,+).(2)存在.要使p(q)是真命题,应使p真q假,因此有解得c4.故存在实数c,使得p(q)是真命题,此时c的取值范围为.
