1、第二章圆锥曲线与方程习题课双曲线的综合问题及应用课后篇巩固提升基础巩固1.直线l:y=k(x-2)与曲线x2-y2=1(x0)相交于A,B两点,则直线l倾斜角的取值范围是()A.0,)B.4,22,34C.0,22,D.4,34解析由y=k(x-2),x2-y2=1(x0),可得x2-k2(x-2)2=1(x0),整理得(1-k2)x2+22k2x-2k2-1=0在(0,+)上有两个不同的根,故-2k2-11-k20,8k4+4(1-k2)(2k2+1)0,-22k21-k20,解得k1,故直线的倾斜角的范围为4,22,34,故选B.答案B2.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,
2、则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于()A.12B.22C.1D.2解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2222=12.答案A3.设F1,F2是双曲线x2a2-y26=1(a0)的左、右焦点,一条渐近线方程为y=62x,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.6B.12C.610D.310解析由双曲线方程知其渐近线方程为y=6ax,又一条渐近线方程为y=62x,a=2,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=|3|PF2|-|
3、PF2|=2|PF2|=2a=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,又|F1F2|=2a2+6=210,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.PF1PF2,SPF1F2=12|PF1|PF2|=1262=6.故选A.答案A4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为3的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()A.2+1B.3+1C.2D.5解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x
4、1+x2=0,x1x2=-a2b2b2-3a2,y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FPFQ=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得ba4-6ba2-3=0,解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1,故选B.答案B5.双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,I是PF1F2的内心,且SIPF2=SIPF1-SIF1F2,则=()A.-35B.-45C.35D.45解析如图,设PF1F2内切
5、圆的半径为r.由SIPF2=SIPF1-SIF1F2,得12|PF2|r=12|PF1|r-12|F1F2|r,整理得|PF1|-|PF2|=|F1F2|.因为P为双曲线右支上一点,所以|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=10,所以=810=45.故选D.答案D6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与左支交于A,B两点,若|AB|=5且实轴长为8,则ABF2的周长为.解析依题意|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=16,即|AF2|+|BF2|-|AB|=16,于是|AF2|+|BF
6、2|=21,故ABF2的周长为21+5=26.答案267.设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则E的渐近线方程为.解析e=ca=1+b2a2=2,b2=3a2,双曲线的方程为x2a2-y23a2=1.由x2a2-y23a2=1,得y=3x,即3xy=0,双曲线的渐近线方程为3xy=0.答案3xy=08.直线y=x+1与双曲线x22-y23=1相交于A,B两点,则|AB|=.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得y=x+1,x22-y23=1,得x2-4x-8=0,则x1+x2=4,x1x2=-8,所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=4
7、6.答案469.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+2,|MC2|=r-2(如图所示).所以|MC1|-|MC2|=22.又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.因为220,b0),由题可知,点(2,3)在双曲线C上,从而有a2+b2=4,4a2-9b2=1,解得a2=1,b2=3.所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1.(2)由已知得直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0,所以原点O到直线l的距离d=|0+0-1|12+12=22.联立x2-y23
8、=1,y=-x+1,消去y,可得x2+x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,x1x2=-2.所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+12(-1)2-4(-2)=32,所以OAB的面积S=12|AB|d=123222=32.能力提升1.已知双曲线x22-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在该双曲线上,则PF1PF2等于()A.-12B.-2C.0D.4解析由题意得b2=2,所以F1(-2,0),F2(2,0).又点P(3,y0)在双曲线上,则y02=1,所以PF1PF2=(-2-3,-y0)
9、(2-3,-y0)=-1+y02=0.答案C2.如图,双曲线x2-y24=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF1与圆x2+y2=1相切于点T,M是PF1的中点,则|MO|-|MT|=()A.1B.2C.12D.32解析因为M是PF1的中点,O是F1F2的中点,所以|MO|=|PF2|2;又|OF1|=c,|OT|=a,所以有|F1T|=|OF1|2-|OT|2=b=2,所以|MT|=|PF1|2-|F1T|=|PF1|2-2,所以|MO|-|MT|=|PF2|2-|PF1|2+2=-|PF1|-|PF2|2+2,由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2,所以|MO|-
10、|MT|=-|PF1|-|PF2|2+2=1.故选A.答案A3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,A,B为左右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,设m=k1k2k3,则m的取值范围为()A.(0,33)B.(0,3)C.0,39D.(0,8)解析因为e=ca=2,a2+b2=c2,所以b=3a.设P(x,y),则x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=b2a2=3.又双曲线渐近线为y=3x,所以0k33,故0m0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支
11、上一点,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,且F1PF2=PF1F2,则双曲线C的离心率为()A.1003B.43C.53D.2解析如图,设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M,则|OM|=a,OMPF1,取PF1的中点N,连接NF2,由F1PF2=PF1F2,可得|PF2|=|F1F2|=2c,则NF2PF1,|NP|=|NF1|,由|NF2|=2|OM|=2a,则|NP|=|PF2|2-|NF2|2=4(c2-a2)=2b,即有|PF1|=4b,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即:4b-2c=2a,2b=c+a,可得4b2=(c+a)2,即4(c2-a2)=(c+a)2
12、,解得ca=53,即e=53,故选C.答案C6.已知双曲线C:x2-y2=2及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为-23,求线段AB的长.解(1)联立x2-y2=2,y=kx-1,可得(1-k2)x2+2kx-3=0.l与C有两个不同的交点,=4k2+12(1-k2)=12-8k20,1-k20,k232且k21,-62k62且k1.k的取值范围为k-62k62,且k1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)可知,x1+x2=2kk2-1.又AB中点的横坐标为-23,kk2-1=-23,2k2+3k-2=0,k=-2或k=12.又由(1)可知,l与C有两个不同交点时,k20,b0),则a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由y=2x,y=x+m,可得x=m,y=2m,点A的坐标为(m,2m).由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m,y=23m.点B的坐标为-13m,23m,OAOB=-13m2+43m2=m2.OAOB=3,m2=3,即m=3.
