1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=axex在x=0处的切线方程为y=x,则实数a的值等于()A.-1B.2C.1D.12解析由题意得f(x)=a(1-x)ex,因函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f(0)=a1=1,得a=1.答案C2.设a,b,c,d为实数,则“ab,cd”是“a+cb+d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析根据不等式的可加性可得ab,cda+cb+d成立;反之不成立,例如取c=5,d=1,a=2,b=3,满足a+cb+d,但是a
2、b不成立,所以“ab,cd”是“a+cb+d”的充分不必要条件.故选A.答案A3.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故选A.答案A4.函数f(x)=2x2-ln|x|的部分图象大致为()解析容易得f(x)定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,又f(
3、x)=2x2-ln|x|=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.又limx0f(x)+,故排除D.当x0时,f(x)=2x2-lnx,f(x)=4x-1x,令f(x)=0,解得x=12.故当x0,12时,f(x)单调递减,当x12,+时,f(x)单调递增.所以f(x)f12.又f12=12-ln120,故排除C.故选A.答案A5.若函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.4,+)B.(0,2C.(1,2D.(1,2)解析f(x)=x-9x=(x-3)(x+3)x.x0,当0x3时,f(x)0,a+1
4、3,解得10,x+1x2,则下列命题为真命题的是()A.pqB.(p)qC.p(q)D.(p)(q)解析因为f(x)=3x+x在(0,+)内单调递增,所以f(x)f(0)=112020,所以p假,又根据基本不等式,知x+1x2,当x=1时,“=”成立,所以q真,根据真值表知(p)q为真.答案B7.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则PAF周长的最小值为()A.9B.10C.11D.12解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1,点A(5,3)在抛物线
5、内部,|FA|=(5-1)2+32=5,P是抛物线上的动点,PDl交l于点D,由抛物线的定义可知|PF|=|PD|;要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小,当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为5-(-1)=6,则(|PA|+|PF|)min=6.PAF周长的最小值为6+5=11.故选C.答案C8.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2|=|PA2|,则双曲线的离心率为()A.52B.2C.72D.233解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=bax上,则P(
6、2a,2b).由|A1A2|=|PA2|,得4a2=a2+4b2.又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=ca=72.答案C9.已知函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为常数,若对任意x-2,2,都有f(x)g(x)成立,则实数k的取值范围是()A.-7,+)B.0,+)C.16,+)D.20,+)解析设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,h(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令h(x)=0可得x=-1或x=2,而h(-2)=k-16,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,所以h(x)在-2,2上的最小值为h(2)
7、=k-20,要满足题意,应使k-200,即k20.答案D10.过抛物线x2=-2py(p0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,O是坐标原点,则ABO的形状()A.是直角三角形B.是锐角三角形C.是钝角三角形D.不能确定解析依题意,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y+p2=kx,由x2=-2py,y+p2=kx可得x2+2pkx-p2=0,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-p2,所以y1y2=p24,因此OAOB=x1x2+y1y2=-3p240,AOB是钝角,故ABO是钝角三角形.答案C11.设函数f(x)=x3-4x+a(0a2)有三个零点x1,x2,x
8、3,且x1x2-1B.x22D.0x21解析函数f(x)=x3-4x+a(0a0,f(x)单调递增;在-233,233内,f(x)0,f(x)单调递增,画出函数f(x)的图象如图所示.f(-1)=3+a0,x10,f(1)=a-30,f(0)f(1)0,f(1)f(2)0.0x21,1x30)的一个焦点,则双曲线的渐近线方程为.解析双曲线焦点在x轴上,因此可知双曲线的一个焦点为(-3,0),于是m+8=9,解得m=1,此时a=1,b=22,故渐近线方程为y=22x.答案y=22x14.已知函数f(x)的导函数f(x)是二次函数,下图是y=f(x)的图象,若f(x)的极大值与极小值之和为23,则
9、f(0)的值为.解析设f(x)=a(x+2)(x-2)(a为非零常数),所以f(x)=a13x3-4x+c(c为常数).易知f(2)+f(-2)=23,所以2c=23,此时f(0)=c=13.答案1315.已知命题p:x00,1,aex0,命题q:xR,x2+x+a0,若命题pq是真命题,则实数a的取值范围是.解析若p为真命题,则a(ex)max,而x0,1,所以(ex)max=e,因此ae;若命题q为真命题,则应有=1-4a14.由于命题pq是真命题,所以命题p与q均为真命题,故140(x0),则不等式x2f(x)0的解集是.解析因为f(-x)=-f(x),f(x)x=xf(x)-f(x)x
10、20(x0),所以f(x)x在(0,+)上为增函数.又f(1)1=0,所以当x(0,1)时,f(x)x0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-1,0)时,f(x)0;当x(-,-1)时,f(x)0,即f(x)0,故x(-1,0)(1,+).答案(-1,0)(1,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ex-x2-ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)若函数g(x)=f(x)-1x,求g(x)在(0,+)上的极值.解(1)因为f(x)=ex-2x-a,所以f(0)=1-a.由题知1-
11、a=2,解得a=-1.因此f(x)=ex-x2+x,而f(0)=1,于是1=20+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f(x)-1x=ex-2xx,所以g(x)=ex(x-1)x2,令g(x)=0得x=1,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增所以g(x)在x=1取得极小值g(1)=e-2,无极大值.18.(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=1x2+a-1是定义域为R的偶函数;命题q:函数g(x)=log2(x2-ax+1)有最小值.(1)若命题q为假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p(i
12、1729;q)为假命题,求实数a的取值范围.解若f(x)的定义域为R,则x2+a-10恒成立,则有a-10解得a1;且此时f(x)=1x2+a-1满足f(-x)=f(x),是偶函数,故命题p为真命题时,实数a的取值范围是(1,+);若命题q为真命题,则x2-ax+1应有最小值,且最小值应大于0,因此有=a2-40,解得-2a2.(1)若命题q为假命题,则a的取值范围为a|a-2或a2.(2)若命题p(q)为假命题,则p为假且q为假,因此p为假q为真.于是a1,-2a2,解得-2a1.故实数a的取值范围是(-2,1.19.(本小题满分12分)已知抛物线C:
13、x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k0).由y=kx-1,x2=-4y得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.直线OM的方程为y=y1x1x.令y=-1,得点A的横坐
14、标xA=-x1y1.同理得点B的横坐标xB=-x2y2.设点D(0,n),则DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DADB=x1x2y1y2+(n+1)2=x1x2-x124-x224+(n+1)2=16x1x2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DADB=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x+aex(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当xxf(x).(1)解由f(x)=x+aex,可得f(x)=1+aex.当a0时,f(x)0,则函数f(
15、x)在(-,+)上为增函数.当a0可得xln-1a,由f(x)ln-1a.则函数f(x)在-,ln-1a内单调递增,在ln-1a,+内单调递减.(2)证明令F(x)=x2+(a+1)x-xf(x).则F(x)=x2+(a+1)x-xf(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex),令H(x)=x+a-aex,则H(x)=1-aex.因为x0,所以0ex0.所以H(x)在(-,0)上为增函数,则H(x)H(0)=0,即x+a-aex0.由x0,所以x2+(a+1)xxf(x).21.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1(-1
16、,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)(解法一)由(1)知,椭圆C:x24
17、+y23=1,a=2.因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此B-115,-125.又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x
18、-1),得y=-32.因此E-1,-32.(解法二)由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1E=B.因为F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E-1,-32.22.(本小题满分12分)已知f(x)=ln x-mx2-(2m-1)x(mR),g(x)=ex2-x2-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当m0时,若对于任意x10,总存在
19、x2-2,-1,使得f(x1)g(x2),求实数m的取值范围.解(1)f(x)=-(2mx-1)(x+1)x,所以当m0时,有f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)内单调递增.当m0时,由f(x)0,解得x0,12m,f(x)在0,12m内单调递增;由f(x)0时,f(x)max=f12m=14m-ln2m-1,根据题意,不等式等价于14m-ln2m-1g(x2)max,x2-2,-1.对于g(x)=ex2-x2-1,g(x)=ex2-2x0,x-2,-1,所以g(x)在x-2,-1上单调递增,所以g(x)max=g(-1)=12e-2.则有14m-ln2m-112e-2.设h(m)=14m-ln2m-1(m0),则h(m)=-14m2-1m0,所以h(m)在定义域内为减函数,又he2=12e-2,所以me2,即m的取值范围是e2,+.
