1、第七章立体几何第五节垂直关系课时规范练A组基础对点练1设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分不必要条件是()Aac,bcB,a,bCa,b Da,b解析:对于C,在平面内存在cb,因为a,所以ac,故ab;A,B中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D中一定推出ab.答案:C2.(2020江西南昌模拟)如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析:由ABAC,BDAC,又ABBDB,则AC平面ABD,而AC平面ABC,则平面ABC平面ABD,因此D在平
2、面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上,故选A.答案:A3. (2020保定模拟)如图,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析:因BCDF,DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,A成立;易证BC平面PAE,BCDF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立答案:D4.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系中不正确的是()APABCBBC
3、平面PACCACPBDPCBC解析:AB为直径,C为圆上异于A,B的一点,所以ACBC.因为PA平面ABC,所以PABC.因为PAACA,所以BC平面PAC,从而PCBC.故选C.答案:C5.如图,在三棱锥DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE解析:因为ABCB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理,DEAC,由于DEBEE,于是AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD平
4、面BDE.故选C.答案:C6. (2020沧州七校联考)如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PAD解析:A中,CDAF,AF面PAF,CD面PAF,CD面PAF成立;B中,六边形ABCDEF为正六边形,DFAF.又PA面ABCDEF,DF面PAF成立;C中,CFAB,AB面PAB,CF面PAB,CF面PAB;而D中CF与AD不垂直,故选D.答案:D7(2020河北衡水模拟)已知m,n,l是不同的直线,是不同的平面,在下列命题中:若mn,ln,则ml;若m,n,mn,则;若ml
5、,m,l,则;若,l,m,ml,则m.其中正确命题的序号为()A BC D解析:如正方体同一个顶点的三条棱,满足的条件,但三条棱都相交,故错;如图,故错;因为ml,m,则l,又l,所以,故正确;由面面垂直的性质知,正确故正确的命题为.故选B.答案:B8设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内两条相交直线,则的一个充分不必要条件是()Al1m,l1n Bml1,ml2Cml1,nl2 Dmn,l1n解析:由ml1,ml2及已知条件可得m,又m,所以;反之,时未必有ml1,ml2,故“ml1,ml2”是“”的充分不必要条件,其余选项均推不出,故选B.答案:B9(2019北京高考卷)已知l
6、,m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_解析:本题主要考查线面平行、垂直的位置关系,考查了逻辑推理能力和空间想象能力把其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,共有三种情况对三种情况逐一验证作为条件,作为结论时,还可能l或l与斜交;作为条件,为结论和作为条件,为结论时,容易证明成立答案:若lm,l,则m(答案不唯一)10在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG垂直的是_解析:如图,在正方体中,E,F,G
7、,M,N,Q均为所在棱的中点,易知E,F,G,M,N,Q六个点共面,直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且选项,中的平面与这个平面重合,满足题意,只有选项中的直线BD1与平面EFG不垂直,不满足题意答案:B组素养提升练11. (2020江西赣州联考)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF,则下列结论:EF平面ABCD;平面ACF平面BEF;三棱锥EABF的体积为定值;存在某个位置使得异面直线AE与BF所成的角为30.其中正确的是_(写出所有正确的结论序号)解析:由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF
8、知,在中,由EFBD,且EF平面ABCD,BD平面ABCD,得EF平面ABCD,故正确;在中,如图,连接BD,CF,由ACBD,ACDD1,可知AC平面BDD1B1,而BE平面BDD1B1,BF平面BDD1B1,则AC平面BEF.又因为AC平面ACF,所以平面ACF平面BEF,故正确;在中,三棱锥EABF的体积与三棱锥ABEF的体积相等,三棱锥ABEF的底面积和高都是定值,故三棱锥EABF的体积为定值,故正确;在中,令上底面中心为O,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是OBC1,可求解OBC130,故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30,故正确答案:12.如图,直角
9、梯形ABEF中,ABEBAF90,C、D分别是BE、AF上的点,且DAABBCa,DF2CE2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置,连接AP、BP、BQ,得到多面体ABCDPQ,且APa.(1)求多面体ABCDPQ的体积;(2)求证:平面PBQ平面PBD.解析:(1)DAABBCa,ABCBAD90四边形ABCD是正方形,CDAD,CDDP,又ADDPD,CD平面ADP.ABCD,AB平面ADP.AD2DP2AP2,ADDP.又CDAD,CDDPD,AD平面CDPQ,又ADBC,BC平面CDPQ.VBCDPQS梯形CDPQBCaa3,VBADPSADPABa2aa,多面体ABC
10、DPQ的体积为VBCDPQVBADP.(2)证明:取BP的中点G,连接GQ、DG、DQ,在ABP中,BP2a,BGBPa,在BCQ中,BQa.PQa,PQBQ,GQBP.QGa,又BDAB2aDP,DGBP,DGa,又DQa,DQ2QG2DG2,QGDG.又BPDGG,QG平面PBD,又QG平面PBQ,平面PBQ平面PBD.13(2020河北石家庄质量检测)如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,侧面ACC1A1为正方形,平面ABB1A1平面ACC1A1.(1)求证:A1B平面AB1C;(2)若A1BAB1O,AB2,ABB160,求三棱锥C1COB1的体积解析:(1)证明
11、:因为平面ABB1A1平面ACC1A1,侧面ACC1A1为正方形,所以AC平面ABB1A1,所以A1BAC.因为侧面ABB1A1为菱形,所以A1BAB1,又ACAB1A,所以A1B平面AB1C.(2)因为A1C1AC,A1C1平面AB1C,AC平面AB1C,所以A1C1平面AB1C.连接A1C,则三棱锥C1COB1的体积等于三棱锥A1COB1的体积因为A1B平面AB1C,所以A1O为三棱锥A1COB1的高因为AB2,ABB160,侧面ABB1A1为菱形,所以AB12,A1B2,所以OB11,OA1,所以SCOB1OB1CA121.所以V三棱锥C1COB1V三棱锥A1COB1A1OSCOB11.
12、14(2020河南郑州第二次质量预测)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD,PAD是等边三角形,F为AD的中点,PDBF.(1)求证:ADPB;(2)若E在线段BC上,且ECBC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG平面ABCD?若存在,求出三棱锥DCEG的体积;若不存在,请说明理由解析:(1)证明:连接PF,PAD是等边三角形,F是AD的中点,PFAD.底面ABCD是菱形,BAD,BFAD.又PFBFF,AD平面BFP,又PB平面BFP,ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G,使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF,PDBF,ADPDD,BF平面PAD.又BF平面ABCD,平面ABCD平面PAD,又平面ABCD平面PADAD,且PFAD,PF平面ABCD.连接CF交DE于点H,过H作HGPF交PC于G,GH平面ABCD.又GH平面DEG,平面DEG平面ABCD.ADBC,DFHECH,GHPF,VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsin GH.