1、【课标要求】1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2.会借助同角三角函数的基本关系式导出二倍角的余弦公式的另两种表示形式.3.能运用二倍角公式进行化简、求值、证明自主学习 基础认识 二倍角公式及其变形|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得 sin22sin 成立()(3)对于任意的角，cos22cos 都不成立()2已知 cos35，则 cos2 等于()A.725 B 725C.2425D2425解析：cos22cos21 725.答案：B3已知 si
2、n3cos，那么 tan2 的值为()A2 B2C.34D34解析：因为 sin3cos，所以 tan3，所以 tan2 2tan1tan22313234.答案：D4化简 2sin21cos2cos2sin 等于()A2cosB2sinC.12Dcos解析：原式4sincos12cos21cos2sin 2cos.答案：A5sin22.5cos202.5_.解析：sin22.5cos202.5sin22.5(cos22.5)12sin45 24.答案：24课堂探究 互动讲练类型一给角求值例 1 求下列各式的值(1)sin 12cos 12；(2)12sin2750；(3)2tan1501tan
3、2150；(4)cos5cos25.【思路点拨】利用二倍角公式求值时，需要对所给式子进行分析，从角的关系出发或从函数名的关系出发，将所给式子变形，然后灵活运用二倍角公式求解【解】(1)原式2sin 12cos 122sin62 14.(2)原式cos(2750)cos1 500cos(436060)cos6012.(3)原式tan(2150)tan300tan(36060)tan60 3.(4)原式2sin5cos5cos252sin5sin25 cos252sin5sin454sin5sin54sin514.方法归纳 应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化 简 求 值 关 注 四 个 方
4、向：分 别 从“角”“函 数名”“幂”“形”着手分析，消除差异(2)公式逆用：主要形式有 2sincossin2，sincos12sin2，cossin22sin，cos2sin2cos2，2tan1tan2tan2.跟踪训练 1 求下列各式的值(1)2cos2 121；(2)tan301tan230；(3)cos 12cos512.解析：(1)2cos2 121cos2 12 cos6 32.(2)tan301tan230122tan301tan23012tan60 32.(3)cos 12cos512cos 12sin 1212sin614.类型二给值求值例 2(1)已知 2，sin 55
5、，则 sin2_，cos2_，tan2_；(2)已知 sin4x 513，0 x4，求 cos2x 的值【解】(1)因为 2，sin 55，所以 cos2 55，所以 sin22sincos2 55 2 5545，cos212sin21255235，tan2sin2cos243，故填45，35，43.(2)因为 x0，4，所以4x0，4，又因为 sin4x 513，所以 cos4x 1213，所以 cos2xsin22x 2sin4x cos4x 2 5131213120169.方法归纳 三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一
6、种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)注意几种公式的灵活应用，如：sin2xcos22x cos24x 2cos24x 112sin24x；cos2xsin22x sin24x 2sin4x cos4x.跟踪训练 2 本例(2)条件不变，求 sin2x 的值解析：由 sin4x 513，所以 22 cosx 22 sinx 513，所以12cos2xsinxcosx12sin2x 25169，所以 sinxcosx119338，所以 sin2x119169.类型三化简与证明例 3(1)化简：sin2x2cosx1tanxtanx2.(2)
7、求证：34cos2Acos4A34cos2Acos4Atan4A.【解】(1)sin2x2cosx1tanxtanx2 sin2x2cosx1sinxsinx2cosxcosx2 sin2x2cosxcosxcosx2sinxsinx2cosxcosx2sin2x2cosxcosx2cosxcosx2tanx.(2)证明：因为左边34cos2A2cos22A134cos2A2cos22A1 1cos2A1cos2A22sin2A2cos2A2(tan2A)2 tan4A右边 所以34cos2Acos4A34cos2Acos4Atan4A.方法归纳 三角函数式的化简与证明(1)化简三角函数式的要
8、求：能求出值的尽量求出；使三角函数的种类与项数尽量少；次数尽量低(2)证明三角恒等式的方法：从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；比较法，左边右边0，左边/右边1；分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件跟踪训练 3(1)化简：1cos2tantan2；(2)求证：sin3sin3cos3cos3cos32.解 析：(1)1cos2 tantan2 1cos2 sinsin2coscos2 cos2sin2coscoscos212sin2cos2cos2cos21.(2)证明：左边sin2sinsin3cos2coscos3 1cos22sinsin31cos22coscos3 1
9、2(sinsin3coscos3)12cos2(sinsin3coscos3)12cos(3)12cos2cos(3)12cos212cos2cos4 12cos2(1cos4)12cos22cos22cos32右边 所以原等式成立|素养提升|1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；4 是 2 的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n 22n1(nN*)2二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos22cos2，cos21cos22，1cos22sin2，sin21cos22.|巩固提升|1若 tan3，则sin2cos2的值等于()A2 B3C4 D6解析：sin2cos22sincoscos22tan6.答案：D2已知 sincos 2，(0，)，则 sin2()A1 B 22C.22D1解析：(sincos)22，2sincos1，即 sin21.答案：A3.1tan2152tan15 等于_解析：原式1tan30 133 3.答案：3
