1、专题检测（十一）空间位置关系的判断与证明 A 组“633”考点落实练一、选择题1.已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：E，F，G，H 四点不共面，命题乙：直线 EF和 GH 不相交，则甲是乙成立的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B 若 E，F，G，H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E，F，G，H 四点可以共面，例如 EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件.故选 B.2.(2019福州市第一学期抽测)已知 m 为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若 m，则 mB.若
2、m，则 mC.若 m，则 mD.若 m，则 m解析：选 A 对于 A，利用线面垂直的性质与判定定理、面面平行的性质定理，可得 m，A 正确；对于 B，若 m，则 m 与 平行或 m 在 内，B 不正确；对于 C，若 m，则 m 与 平行或 m 在 内，C 不正确；对于 D，若 m，则 m 可以在 内，D 不正确.故选 A.3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，|AB|2|BB1|，则 AB1 与 BC1 所成角的大小为()A.30B.60C.75D.90解析：选 D 将正三棱柱 ABC-A1B1C1 补为四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 C1D，BD，则C1DB1A，BC1D 为所求
3、角或其补角.设 BB1 2，则 BCCD2，BCD120，BD2 3，又因为 BC1C1D 6，所以BC1D90.故选 D.4.(2019长沙市统一模拟考试)设 a，b，c 表示不同直线，表示不同平面，下列命题：若 ac，bc，则 ab；若 ab，b，则 a；若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab.真命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析：选 A 由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据 ab，b，可以推出 a 或 a，故是假命题；对于，根据 a，b，可以推出 a 与b 平行、相交或异面，故是假命题；对于，根据 a，b，可以推出 ab或 a 与 b 异面，故是假
4、命题.所以真命题的个数是 1.故选 A.5.如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC 是等边三角形；三棱锥 D-ABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的结论是()A.B.C.D.解析：选 B 由题意知，BD平面 ADC，故 BDAC，正确；AD 为等腰直角三角形ABC 的斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 ABACBC，BAC 是等边三角形，正确；易知 DADBDC，结合知正确；由知不正确.故选 B.6.(2019湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧
5、面展开图如图所示，G 为 BF 的中点，则在正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为()A.33B.63C.36D.336解析：选 C 该正四面体如图所示，取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，则 GHAB，所以HGE 为直线 EG 与直线 BC 所成的角.设该正四面体的棱长为 2，则 HEEG 3，GH1.在HEG 中，由余弦定理，得 cosHGEHG2EG2HE22HGEG 36.故选 C.二、填空题7.(2019北京高考)已知 l，m 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：
6、.证明如下：m，根据线面平行的性质定理，知存在 n，使得 mn.又 l，ln，lm.证明略.答案：(或)8.若 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出以下四个命题：OM平面 PCD；OM平面 PBC；OM平面 PDA；OM平面 PBA.其中正确的个数是_.解析：由已知可得 OMPD，OM平面 PCD 且 OM平面 PAD.故正确的只有.答案：9.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_.解析：如图，SA 与底面成 45角，S
7、AO 为等腰直角三角形.设 OAr，则 SOr，SASB 2r.在SAB 中，cos ASB78，sin ASB 158，SSAB12SASBsin ASB 12(2r)2 158 5 15，解得 r2 10，SA 2r4 5，即母线长 l4 5，S 圆锥侧rl2 104 540 2.答案：40 2三、解答题10.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形，ABCD，ABAD，AA14，DC2AB，ABAD3，点 M 在棱 A1B1 上，且 A1M13A1B1.已知点 E 是直线 CD 上的一点，AM平面BC1E.(1)试确定点 E 的位置，并说明理由；(2)求三棱
8、锥 M-BC1E 的体积.解：(1)点 E 在线段 CD 上且 EC1，理由如下.在棱 C1D1 上取点 N，使得 D1NA1M1，连接 MN，DN(图略)，又 D1NA1M，所以 MN綊 A1D1 綊 AD.所以四边形 AMND 为平行四边形，所以 AMDN.因为 CE1，所以易知 DNEC1，所以 AMEC1，又 AM平面 BC1E，EC1平面 BC1E，所以 AM平面 BC1E.故点 E 在线段 CD 上且 EC1.(2)由(1)知，AM平面 BC1E，所以 V 三棱锥 M-BC1EV 三棱锥 A-BC1EV 三棱锥 C1ABE131233 46.11.(2019石家庄市模拟一)如图，已
9、知三棱锥 P-ABC 中，PCAB，ABC是边长为 2 的正三角形，PB4，PBC60.(1)证明：平面 PAC平面 ABC；(2)设 F 为棱 PA 的中点，在 AB 上取点 E，使得 AE2EB，求三棱锥 FACE 与四棱锥 C-PBEF 的体积之比.解：(1)证明：在PBC 中，PBC60，BC2，PB4，由余弦定理可得 PC2 3，PC2BC2PB2，PCBC，又 PCAB，ABBCB，PC平面 ABC，PC平面 PAC，平面 PAC平面 ABC.(2)设三棱锥 F-ACE 的高为 h1，三棱锥 P-ABC 的高为 h，则 VFACE13SACEh1 13SABC23h12 13SAB
10、Ch13 13VPABC.三棱锥 F-ACE 与四棱锥 C-PBEF 的体积之比为 12.12.(2019重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，CADABC90，BACADC30，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AC2.(1)求证：AE平面 PBC；(2)若四面体 PABC 的体积为 33，求PCD 的面积.解：(1)证明：如图，取 CD 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFPC，又易知BCDAFD120，AFBC，又 EFAFF，PCBCC，平面 AEF平面 PBC.又 AE平面 AEF，AE平面 PBC.(2)由已知得，V 四面体 PABC1312ABBCPA
11、 33，可得 PA2.过 A 作 AQCD 于 Q，连接 PQ，在ACD 中，AC2，CAD90，ADC30，CD4，AD2 3，AQ22 34 3，则 PQ223 7.PA平面 ABCD，PACD.又 AQPAA，CD平面 PAQ，CDPQ.SPCD124 72 7.B 组大题专攻强化练1.(2019兰州市诊断考试)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，PCD 为正三角形，BAD30，AD4，AB2 3，平面 PCD平面 ABCD，E 为 PC 的中点.(1)证明：BEPC；(2)求多面体 PABED 的体积.解：(1)证明：BD2AB2AD22ABADcos B
12、AD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD，BDCD.平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，BD平面 PCD，BDPC.PCD 为正三角形，E 为 PC 的中点，DEPC，PC平面 BDE，BEPC.(2)如图，作 PFCD，EGCD，F，G 为垂足，平面 PCD平面 ABCD，PF平面 ABCD，EG平面 ABCD，PCD 为正三角形，CD2 3，PF3，EG32，V 四棱锥 P-ABCD1322 334 3，V 三棱锥 E-BCD131222 332 3，多面体 PABED 的体积 V4 3 33 3.2.(2019昆明市诊断测试)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，
13、底面 ABCD是平行四边形，PD平面 ABCD，ADBD6，AB6 2，E 是棱 PC上的一点.(1)证明：BC平面 PBD；(2)若 PA平面 BDE，求PEPC的值；(3)在(2)的条件下，三棱锥 P-BDE 的体积是 18，求点 D 到平面 PAB 的距离.解：(1)证明：由已知条件可知 AD2BD2AB2，所以 ADBD.因为 PD平面 ABCD，所以 PDAD.又 PDBDD，所以 AD平面 PBD.因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 BCAD，所以 BC平面 PBD.(2)如图，连接 AC 交 BD 于 F，连接 EF，则 EF 是平面 PAC 与平面 BDE 的交线.因为
14、PA平面 BDE，所以 PAEF.因为 F 是 AC 的中点，所以 E 是 PC 的中点，所以PEPC12.(3)因为 PD平面 ABCD，所以 PDAD，PDBD，由(1)(2)知点 E 到平面 PBD 的距离等于12BC3.因为 V 三棱锥 E-PBDV 三棱锥 P-BDE18，所以1312PDBD318，即 PD6.又 ADBD6，所以 PA6 2，PB6 2，又 AB6 2，所以PAB 是等边三角形，则 SPAB18 3.设点 D 到平面 PAB 的距离为 d，因为 V 三棱锥 D-PABV 三棱锥 P-ABD，所以1318 3d1312666，解得 d2 3.所以点 D 到平面 PA
15、B 的距离为 2 3.3.(2019郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD3，PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PDBF.(1)求证：ADPB.(2)若 E 在线段 BC 上，且 EC14BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥 D-CEG 的体积；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：连接 PF，PAD 是等边三角形，PFAD.底面 ABCD 是菱形，BAD3，BFAD.又 PFBFF，AD平面 BFP，又 PB平面 BFP，ADPB.(2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面
16、DEG平面 ABCD.由(1)知 ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面 PAD.又 BF平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD，又平面 ABCD平面 PADAD，且 PFAD，PF平面 ABCD.连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HGPF 交 PC 于 G，GH平面 ABCD.又 GH平面 DEG，平面 DEG平面 ABCD.ADBC，DFHECH，CHHFCEDF12，CGGPCHHF12，GH13PF 33，VD-CEGVG-CDE13SCDEGH 1312DCCEsin3 GH 112.4.(2019东北四市联合体模拟一)如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB
17、BC1，CD2，E 为 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折到APE 的位置.(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥 P-ABCE 的体积最大时，求点 C 到平面 PAB 的距离.解：(1)证明：在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点 O，ABCE，ABCE，四边形 ABCE 为平行四边形，AEBCADDE，ADE 为等边三角形，在等腰梯形 ABCD 中，CADE3，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又 OP平面 POB，OB平面 POB，OPOBO，AE平面 POB，PB平面 POB，AEPB.(2)当四棱锥 P-ABCE 的体积最大时，平面 PAE平面 ABCE.又平面 PAE平面 ABCEAE，PO平面 PAE，POAE，OP平面 ABCE.OPOB 32，PB 62，APAB1，SPAB12 62 112 622 158，连接 AC，则 VPABC13OPSABC13 32 34 18，设点 C 到平面 PAB 的距离为 d，VPABCVC-PAB13SPABd，d3VPABCSPAB 38158 155.
