1、专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题 大题专攻强化练1(2019全国卷)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切(1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上由已知 A 在直线 xy0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 yx 上，故可设 M(a，a)因为M 与直线 x20 相切，所以M 的半径为 r|a2|.连接 MA，由已知得|AO|2.又MO AO，故可得
2、2a24(a2)2，解得 a0 或 a4.故M 的半径 r2 或 r6.(2)存在定点 P(1，0)，使得|MA|MP|为定值 理由如下：设 M(x，y)，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2.由于 MOAO，故可得 x2y24(x2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y24x.因为曲线 C：y24x 是以点 P(1，0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点 P.2(2019武汉部分学校调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，且长轴长为 8，T 为椭圆 C 上异于 A，
3、B 的点，直线 TA，TB 的斜率之积为34.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 M(8，0)的动直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求OPQ 面积的最大值解：(1)设 T(x，y)(x4)，则直线 TA 的斜率为 k1 yx4，直线 TB 的斜率为 k2 yx4.于是由 k1k234，得 yx4 yx434，整理得x216y2121(x4)，故椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)由题意设直线 PQ 的方程为 xmy8，由xmy8，x216y2121 得(3m24)y248my1440，(48m)24144(3m24)1248(m24)0，即 m24，yPyQ 4
4、8m3m24，yPyQ 1443m24.|PQ|m213m24 24（m21）（m24）3m24，点 O 到直线 PQ 的距离 d8m21.故SOPQ 12|PQ|d 96 m243m24963 m2416m24 43当且仅当m2283 时等号成立，且满足m24，故OPQ 面积的最大值为 4 3.3(2019湖南省湘东六校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e12，点 A(b，0)，B，F 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2 6.(1)求椭圆 C 的方程(2)若过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点(G 在 M，H 之间)，设直线 l
5、的斜率 k0，在 x 轴上是否存在点 P(m，0)，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的焦距为 2c，由离心率 e12得 a2c.由|BF|BA|2 6，得 ab2b22 6，ab2 3.a2b2c2，由可得 a24，b23，椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设直线 l 的方程为 ykx2(k0)，由ykx2（k0），x24y231得(34k2)x216kx40，可知 0，k12.设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 x1x216k4k23，PGPH(x1x22m，k(x1x2)4)，GH(x2x1，
6、y2y1)(x2x1，k(x2x1)菱形的对角线互相垂直，(PGPH)GH0，(1k2)(x1x2)4k2m0，得 m2k4k23，即 m24k3k，k12，36 m0当且仅当3k4k时，等号成立.存在满足条件的实数 m，m 的取值范围为 36，0.4(2019郑州市第二次质量预测)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2 的周长为 42 3，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 B 是椭圆上一动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1，k2，且 k1k214，求|OP
7、|的取值范围解：(1)由椭圆的定义及AF1F2 的周长为 42 3，可得 2(ac)42 3，ac2 3.当 A 在上(或下)顶点时，AF1F2 的面积取得最大值，即 bc 3，由及 a2c2b2，得 a2，b1，c 3，椭圆 C 的方程为x24y21.(2)当直线 AB 的斜率不存在时，k1k2，k1k214，k112，不妨取 k112，则直线OA 的方程为 y12x，不妨取点 A2，22，则 B2，22，P(2，0)，|OP|2.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，x24y24 可得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)0，x1x28km14k2，x1x24m2414k2.k1k214，4y1y2x1x20，4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m2432k2m214k24m20，化简得 2m214k2(满足式)，m212.设 P(x0，y0)，则 x0 x1x224km14k22km，y0kx0m 12m.|OP|2x20y204k2m2 14m22 34m212，2，|OP|22，2.综上，|OP|的取值范围为22，2.
