1、专题检测（六）三角函数的图象与性质 A 组“633”考点落实练一、选择题1.(2019合肥市第一次质检)已知 cos sin 15，则 cos22()A.2425 B.45C.2425D.45解析：选C 由 cos sin 15，得 1sin 2 125，所以 sin 22425，所以 cos22sin 22425，故选 C.2.(2019湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为 3B.f(x)的最小正周期为，最大值为 4C.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析
2、：选 B f(x)2 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x22sin2x6 2，则f(x)的最小正周期为22，最大值为 224.故选 B.3.(2019四川攀枝花模拟)函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图所示，现将此图象向右平移12个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为()A.g(x)2sin 2xB.g(x)2sin2x6C.g(x)2sin2x4D.g(x)2sin2x3解析：选 D 根据函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的图象可得 A2，1223 6，2.再根据五点法作图可得 23 2，6，函数 f(x)
3、2sin2x6 2sin 2x12.把f(x)的图象向右平移12个单位长度得到函数g(x)2sin 2x1212 2sin2x3 的图象，故选 D.4.(2019昆明市质量检测)将函数 ysin2x4 的图象向左平移4 个单位长度，所得图象对应的函数在区间m，m上单调递增，则 m 的最大值为()A.8B.4C.38D.2解析：选 A 函数 ysin2x4 的图象向左平移4 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 ysin2x4 4 cos2x4，由2k2x4 2k(kZ)，得38kx8 k(kZ)，所以当 k0 时函数的一个单调递增区间是38，8，所以 m的最大值为8.故选 A.5.(201
4、9全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间2，单调递增；f(x)在，有 4 个零点；f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.解析：选 C 中，f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)是偶函数，正确.中，当 x2，时，f(x)sin xsin x2sin x，函数单调递减，错误.中，当 x0 时，f(x)0，当 x(0，时，f(x)2sin x，令 f(x)0，得 x.又f(x)是偶函数，函数 f(x)在，上有 3 个零点，错误.中，sin|x|sin x|，f(x)2|si
5、n x|2，当 x2 2k(kZ)或 x2 2k(kZ)时，f(x)能取得最大值 2，故正确.综上，正确.故选 C.6.(2019 蓉 城 名 校 第 一 次 联 考)已 知 函 数f(x)Asin(2x)A0，|2 的部分图象如图所示，f(a)f(b)0，f(ab)3，则()A.f(x)在512，12 上是减函数B.f(x)在512，12 上是增函数C.f(x)在3，56上是减函数D.f(x)在3，56上是增函数解析：选 B 由题图可知 A2，则 f(x)2sin(2x).因为 f(a)f(b)0，所以 fab22，则 sin(ab)1，ab2 2k，kZ.由 f(ab)3得 sin2(ab
6、)32，2(ab)3 2k，kZ，或 2(ab)23 2k，kZ，所以 23 2k或 3 2k，kZ，又|2，所以 3，f(x)2sin2x3.当 x512，12 时，2x3 2，2，所以 f(x)在512，12 上是增函数.当 x3，56时，2x3(，2)，所以 f(x)在3，56上先减后增.故选 B.二、填空题7.(2019全国卷)函数 f(x)sin2x323cos x 的最小值为_.解析：f(x)sin2x323cos x cos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令 tcos x，则 t1，1，f(x)2t23t1.又函数 f(x)图象的对称轴 t341，1，且开口向下，当
7、 t1 时，f(x)有最小值4.答案：48.(2019福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边交单位圆 O 于点 P(a，b)，且 ab75，则 cos22 的值是_.解析：由三角函数的定义知 cos a，sin b，cos sin ab75，(cos sin)21sin 24925，sin 2492512425，cos22 sin 22425.答案：24259.已知 f(x)sin(x)(0，|)在区间2，4上单调，且 f(2)1，f(4)1，则 _，f(x)在区间12，3 上的值域是_.解析：由题意知 f(x)的最小正周期 T4，2
8、，f(x)sin2 x.又 f(2)sin()1，2 2k，kZ.又|0)，函数 f(x)mn 3，直线 xx1，xx2 是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为2.(1)求 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间.解：(1)因为向量 m(2sin x，sin x)，n(cos x，2 3sin x)(0)，所以函数f(x)mn 32sin xcos xsin x(2 3sin x)3sin 2x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3.因为直线 xx1，xx2 是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为2，所以函数
9、f(x)的最小正周期为2 2，即22，得 1.(2)由(1)知，f(x)2sin2x3，令 2k2 2x3 2k2(kZ)，解得 k512 xk12(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为k512，k12(kZ).3.已知函数 f(x)3sin 2xcos4xsin4x1(01)，若点6，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心.(1)求 f(x)的解析式，并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数 f(x)在区间，上的图象.解：(1)f(x)3sin 2x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)1 3sin 2xcos 2x1 2sin2x6 1.点6，1 是函
10、数 f(x)图象的一个对称中心，3 6 k，kZ，3k12，kZ.00，02 图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且在 x8 时取得最大值 1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x0，98时，若方程 f(x)a 恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3，求 x1x2x3 的取值范围.解：(1)由题意，T22，故 2 2，所以 sin28 sin4 1，所以4 2k2，kZ，所以 2k4，kZ.因为 02，所以 4，所以 f(x)sin2x4.(2)画出该函数的图象如图，当 22 a1 时，方程 f(x)a 恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线 x8 对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线 x58 对称，所以 x1x24，x398，所以54 x1x2x3118，故 x1x2x3 的取值范围为54，118.
