1、专题综合检测(三)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,则a20(B)A.1 B.1 C.3 D.7解析:a1a3a5105,即3a3105,a335.同理可得a433,公差da4a32,a20a4(204)d1.故选B.2.已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列的前100项和为(A)A. B. C. D.解析:由a55,S515可得 ann.S1001.3.(2015新课标卷)已知等比数列an满足a1,a3a5
2、4(a41),则a2(C)A.2 B.1 C. D.解析:解法一 a3a5a,a3a54(a41), a4(a41), a4a440, a42.又 q38, q2, a2a1q2,故选C.解法二 a3a54(a41), a1q2a1q44(a1q31),将a1代入上式并整理,得q616q3640,解得q2, a2a1q,故选C.4.已知an是等差数列,a1a24,a7a828,则该数列前10项和S10等于(B)A.64 B.100 C.110 D.1205.在等差数列an中,a3a927a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11(B)A.18 B.99 C.198 D.2976.设等差数列an
3、的前n项和为Sn,且a110,a29,那么下列不等式中成立的是(D)A.a10a110 B.a20a220C.S20S210 D.S40a410解析:公差da2a11,an11n.a10a110,a20a220,故A、B错误.Snn,S20S21,即S20S210,故C错.由an及Sn知,S400,a410,即S40a410,故D正确.7.已知数列an的各项均为正数,其前n项和是Sn,若log2an是公差为1的等差数列,且S6,那么a1的值是(A)A. B. C. D.8.已知等比数列an中,a21,则其前3项的和S3的取值范围是(D)A.(,1 B.(,0)(1,)C.3,) D.(,13,
4、)9.(2015浙江卷)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3、a4、a8成等比数列,则(B)A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,dS40 D.a1d0解析: a3、a4、a8成等比数列, aa3a8, (a13d)2(a12d)(a17d),展开整理,得3a1d5d2,即a1dd2. d0, a1d0. Snna1d, S44a16d,dS44a1d6d2d20.10.已知f(x)x1,g(x)2x1,数列an满足a11,an1则a2 016(D)A.22 0162 016 B.21 0072 016C.22 0162 D.21 0092解析:a2n2a2n11
5、(2a2n1)12a2n2.即a2n222(a2n2),a2n2是以2为公比,a224为首项的等比数列.a2n242n12n1.a2n2n12.a2 01621 0092.11.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,最后一年的价格与原来的价格比较,变化情况是(D)A.不增不减 B.约增1.4%C.约减9.2% D.约减7.8%解析:设原价为1,则现价为(120%)2(120%)20.921 6,10.921 60.078 4,约减7.8%.12.(2014兰州模拟)设yf(x)是一次函数,若f(0)1且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)f(4)f(2n)等于
6、(A)A.n(2n3) B.n(n4)C.2n(2n3) D.2n(n4)解析:由题意可设f(x)kx1(k0),则(4k1)2(k1)(13k1),解得k2,f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)4(12n)n2n23n.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015新课标卷)设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn.解析: an1Sn1Sn,an1SnSn1, Sn1SnSnSn1. Sn0, 1,即1.又1, 是首项为1,公差为1的等差数列. 1(n1)(1)n, Sn.答案:14.(2015陕西卷
7、)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.解析:设数列首项为a1,则1 010,故a15.答案:515.(2014肇庆一模)等比数列an中,a1a220,a3a440,则a5a6等于.解析:q22,a5a6a1q4a1q5q2(a1q2a1q3)80.答案:8016.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S210,S555,则过点P(n,an)和Q(n2,an2)(nN*)的直线的斜率是.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014湛江一模)已知正数数列an中,a11,前n项和为Sn
8、,对任意nN*,lg Sn,lg n,lg 成等差数列.(1)求an和Sn;(2)设bn,数列bn的前n项和为Tn,当n2时,证明:SnTn2.解析:(1)依题意:lg Snlg 2lg n,即n2,Snann2.anSn1ann2.当n2时,Sn1an1(n1)2.代入并整理得:.,.把以上式子相乘得:,又a11, an.当n1时,a11也满足上式,an.an 2,Sn22.(2)bn2Tn22.n2,0,Tn22.又TnSn22(n1)!1nn!(n1)n!1nn!(n!1)0.SnTn2.18.(12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(
9、1)求a1,a2的值;(2)求证:数列Sn2是等比数列.解析:(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).a12,a12a2(a1a2)4.a24.(2)a12a23a3nan(n2n(nN*),当n2时,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1).由得nan(n1)Sn2n(n2)Sn12(n1)n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2.Sn2Sn120,即Sn2Sn12.Sn22(Sn12).S1240,Sn120.2.Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列.19.(12分)(2015天津卷)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1b11,b2b3
10、2a3,a53b27.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cnanbn,nN*,求数列cn的前n项和.解析:(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意知q0.由已知,有消去d,整理得q42q280,解得q24.又因为q0,所以q2,所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1,nN*;数列bn的通项公式为bn2n1,nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1,设cn的前n项和为Sn,则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1,2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n,上述两式相减,得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n
11、3,所以,Sn(2n3)2n3,nN*.20.(12分)(2015天津卷)已知an是各项均为正数的等比数列bn是等差数列,且a1b11,b2b32a3,a53b27.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cnanbn,nN*,求数列cn的前n项和.分析:(1)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(2)用错位相减法求和.解析:(1)设an的公比为q,bn的公差为d,由题意q0,由已知,有消去d得q42q280,解得q2,d2,所以an的通项公式为an2n1,nN*,bn的通项公式为bn2n1,nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1,设cn的前n项和为Sn,则Sn1
12、20321522(2n1)2n1,2Sn121322523(2n1)2n,两式相减得Sn122232n(2n1)2n(2n3)2n3,所以Sn(2n3)2n3.21.(12分)(2015福建卷)等差数列an中,a24,a4a715.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an2n,求b1b2b3b10的值.解析:(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn,所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.22.(12分)已知an是等差数列,其前n项和
13、为Sn,bn是等比数列,且a1b12,a4b427,S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记Taa1b1a2b2anbn,nN*,证明:Tn8an1bn1(nN*,n2).解析:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由a1b12,得a423d,b42q3,S486d,由条件得方程组故an3n1,bn2n,nN*.(2)由(1)得Tn22522823(3n1)2n,2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由,得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18.得Tn8(3n4)2n1.而当n2时,an1bn1(3n4)2n1.所以Tn8an1bn1(nN*,n2).