1、专题综合检测（三）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20（B）A.1 B.1 C.3 D.7解析：a1a3a5105，即3a3105，a335.同理可得a433，公差da4a32，a20a4（204）d1.故选B.2.已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为（A）A. B. C. D.解析：由a55，S515可得 ann.S1001.3.（2015新课标卷）已知等比数列an满足a1，a3a5
2、4（a41），则a2（C）A.2 B.1 C. D.解析：解法一 a3a5a，a3a54（a41）， a4（a41）， a4a440， a42.又 q38， q2， a2a1q2，故选C.解法二 a3a54（a41）， a1q2a1q44（a1q31），将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2， a2a1q，故选C.4.已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于（B）A.64 B.100 C.110 D.1205.在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11（B）A.18 B.99 C.198 D.2976.设等差数列an
3、的前n项和为Sn，且a110，a29，那么下列不等式中成立的是（D）A.a10a110 B.a20a220C.S20S210 D.S40a410解析：公差da2a11，an11n.a10a110，a20a220，故A、B错误.Snn，S20S21，即S20S210，故C错.由an及Sn知，S400，a410，即S40a410，故D正确.7.已知数列an的各项均为正数，其前n项和是Sn，若log2an是公差为1的等差数列，且S6，那么a1的值是（A）A. B. C. D.8.已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是（D）A.（，1 B.（，0）（1，）C.3，） D.（，13，
4、）9.（2015浙江卷）已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3、a4、a8成等比数列，则（B）A.a1d0，dS40 B.a1d0，dS40，dS40 D.a1d0解析： a3、a4、a8成等比数列， aa3a8， （a13d）2（a12d）（a17d），展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2. d0， a1d0. Snna1d， S44a16d，dS44a1d6d2d20.10.已知f（x）x1，g（x）2x1，数列an满足a11，an1则a2 016（D）A.22 0162 016 B.21 0072 016C.22 0162 D.21 0092解析：a2n2a2n11
5、（2a2n1）12a2n2.即a2n222（a2n2），a2n2是以2为公比，a224为首项的等比数列.a2n242n12n1.a2n2n12.a2 01621 0092.11.某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（D）A.不增不减 B.约增1.4%C.约减9.2% D.约减7.8%解析：设原价为1，则现价为（120%）2（120%）20.921 6，10.921 60.078 4，约减7.8%.12.（2014兰州模拟）设yf（x）是一次函数，若f（0）1且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）f（4）f（2n）等于
6、（A）A.n（2n3） B.n（n4）C.2n（2n3） D.2n（n4）解析：由题意可设f（x）kx1（k0），则（4k1）2（k1）（13k1），解得k2，f（2）f（4）f（2n）（221）（241）（22n1）4（12n）n2n23n.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.（2015新课标卷）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn.解析： an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1. Sn0， 1，即1.又1， 是首项为1，公差为1的等差数列. 1（n1）（1）n， Sn.答案：14.（2015陕西卷
7、）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.答案：515.（2014肇庆一模）等比数列an中，a1a220，a3a440，则a5a6等于.解析：q22，a5a6a1q4a1q5q2（a1q2a1q3）80.答案：8016.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P（n，an）和Q（n2，an2）（nN*）的直线的斜率是.答案：4三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（2014湛江一模）已知正数数列an中，a11，前n项和为Sn
8、，对任意nN*，lg Sn，lg n，lg 成等差数列.（1）求an和Sn；（2）设bn，数列bn的前n项和为Tn，当n2时，证明：SnTn2.解析：（1）依题意：lg Snlg 2lg n，即n2，Snann2.anSn1ann2.当n2时，Sn1an1（n1）2.代入并整理得：.，.把以上式子相乘得：，又a11， an.当n1时，a11也满足上式，an.an 2，Sn22.（2）bn2Tn22.n2，0，Tn22.又TnSn22（n1）！1nn！（n1）n！1nn！（n！1）0.SnTn2.18.（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan（n1）Sn2n（nN*）.（
9、1）求a1，a2的值；（2）求证：数列Sn2是等比数列.解析：（1）a12a23a3nan（n1）Sn2n（nN*）.a12，a12a2（a1a2）4.a24.（2）a12a23a3nan（n2n（nN*），当n2时，a12a23a3（n1）an1（n2）Sn12（n1）.由得nan（n1）Sn2n（n2）Sn12（n1）n（SnSn1）Sn2Sn12nanSn2.Sn2Sn120，即Sn2Sn12.Sn22（Sn12）.S1240，Sn120.2.Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.19.（12分）（2015天津卷）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b3
10、2a3，a53b27.（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.解析：（1）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0.由已知，有消去d，整理得q42q280，解得q24.又因为q0，所以q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.（2）由（1）有cn（2n1）2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522（2n3）2n2（2n1）2n1，2Sn121322523（2n3）2n1（2n1）2n，上述两式相减，得Sn122232n（2n1）2n2n13（2n1）2n（2n3）2n
11、3，所以，Sn（2n3）2n3，nN*.20.（12分）（2015天津卷）已知an是各项均为正数的等比数列bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.分析：（1）列出关于q与d的方程组，通过解方程组求出q，d，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.解析：（1）设an的公比为q，bn的公差为d，由题意q0，由已知，有消去d得q42q280，解得q2，d2，所以an的通项公式为an2n1，nN*，bn的通项公式为bn2n1，nN*.（2）由（1）有cn（2n1）2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn1
12、20321522（2n1）2n1，2Sn121322523（2n1）2n，两式相减得Sn122232n（2n1）2n（2n3）2n3，所以Sn（2n3）2n3.21.（12分）（2015福建卷）等差数列an中，a24，a4a715.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn2an2n，求b1b2b3b10的值.解析：（1）设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1（n1）dn2.（2）由（1）可得bn2nn，所以b1b2b3b10（21）（222）（233）（21010）（22223210）（12310）（2112）55211532 101.22.（12分）已知an是等差数列，其前n项和
13、为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Taa1b1a2b2anbn，nN*，证明：Tn8an1bn1（nN*，n2）.解析：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d，由条件得方程组故an3n1，bn2n，nN*.（2）由（1）得Tn22522823（3n1）2n，2Tn222523（3n4）2n（3n1）2n1.由，得Tn2232232332n（3n1）2n1（3n1）2n12（3n4）2n18.得Tn8（3n4）2n1.而当n2时，an1bn1（3n4）2n1.所以Tn8an1bn1（nN*，n2）.