1、1.3.2球的体积和表面积课后篇巩固提升1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是()A.66B.2C.22D.32解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4R2得aR=23,V1V2=a343R3=34233=66.答案A2.三棱锥P-ABC中,AB=BC=15,AC=6,PC平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.253B.252C.833D.832解析由题可知ABC中AC边上的高为(15)2-32=6,球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x2=32+(6-x)2,解得x=546,所以R2=x2+PC22=758
2、+1=838(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4R2=832.答案D3.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积S为()A.17+317B.20+517C.22D.17+517解析由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体.圆台的上底面半径r=2,下底面半径R=3,母线l=42+12=17,所以圆台的侧面积为(R+r)l=517,圆台的下底面面积为R2=9.又半球的半径为2,所以半球面的面积为222=8.所以组合体的表面积S=517+9+8=17+517.故选D.答案D4.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为,则
3、球的体积为()A.323B.83C.82D.823解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,则截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=12+12=2,球的体积为43R3=823.答案D5.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为r26r=6r3,高度为8的水的体积为8r2,3个球的体积和为343r3=4r3,由题意得6r3-8r2=4r3,解得r=4.答案46.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则
4、圆台的体积为.解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=3(32+3242+42)7=2593.答案25937.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABBC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.解析取AC,A1C1的中点分别是D,D1,则三棱柱外接球的球心O为DD1的中点,半径R=OA=522,表面积为4R2=50.答案508.一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面,球心为上底面的中心),则该器皿的表面积为.解析如
5、图,该器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积,再加上半径为1的半球的表面积,该器皿的表面积为:S=6(33)-12+12(412)=54-+2=+54.答案+549.(选做题)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为32的正方形,且各侧棱长均为23.求该四棱锥外接球的表面积.解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SCEC.AB=32,O1C=3.在RtSO1C中,SC=23,SO1=3.在RtSCE中,RtSCERtSO1C,SC2=SO1SE,SE=SC2SO1=(23)23=43.球半径R=23.球的表面积为S=4R2=4(23)2=48.
