1、知识点一,参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程1曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为y2x2(1x1)解析：由(为参数)消去参数得y2x2(1x1)2椭圆C的参数方程为(为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min.解析：由(为参数)得，1，当ABx轴时，|AB|有最小值|AB|min2.知识点二常见曲线的参数方程的一
2、般形式 1经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量2圆的参数方程(为参数)3圆锥曲线的参数方程椭圆1的参数方程为(为参数)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)3若直线(t为参数)与直线4xky1垂直，则常数k6.解析：直线(t为参数)的斜率为，所以1，k6.4椭圆1的参数方程是(为参数)解析：设cos，sin，则(为参数)，即为所求的参数方程5在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x21，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为.解析：将直线l的参数方程代入x21，得21，即
3、7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|.1参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等(2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小取值范围2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离若M1，M2是l的两点，其对应参数分别为t1，t2，则有以下结论：(1)|M1M2|t1t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.考向一参数方程与普通方程的互化 【
4、例1】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sinm.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围【解】(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，可得其直角坐标方程为yx2(2x2)，由曲线C2的极坐标方程为sinm，可得其直角坐标方程为xym0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程，可得x2xm0，mx2x2，2x2，曲线C1与曲线C2有公共点，m6.(1)消去参数的方法一般有三种：利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；利用三角恒等式消
5、去参数；根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致.将下列参数方程化成普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数，)解：(1)消去参数t，得yx2，由于t20，普通方程为yx2(x1)，表示一条射线(2)消去参数，得x2y21，由于，x1,0，y0,1，普通方程为x2y21，(1x0,0y1)，表示圆的四分之一考向二求曲线的参数方程 【例2】(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P
6、的轨迹的参数方程【解】(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当|1，解得k1，即(，)或(，)综上，的取值范围是(，)(2)l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，)本题通过参数法建立了点P的轨迹方程，有时求曲线的参数方程也可通过相关点法求解.已知直线l的参数方程为(t为参数，00，得|sin|，又0，的取值范围是.(2)设P1(t1cos，2t1
7、sin)，P2(t2cos，2t2sin)，由(1)中的(*)可知，2sin，可得P1P2中点的轨迹方程为(为参数，)故线段P1P2中点轨迹的参数方程为.考向三利用直线的参数方程求长度 【例3】已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值【解】(1)由4cos得24cos.x2y22，xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24.(2)将代入曲线C的方程得(t
8、cos1)2(tsin)24，化简得t22tcos30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|t1t2|，4cos22，cos，或.(2019西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin24cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.解：(1)由sin24cos，可得2sin24cos，曲线C的直角坐标方程为y24x.(2)将直线l的参数方程代入y24x，整理得4t28t70，t1t22，t1t2，|AB|t1t2|.考向四利用椭圆参数
9、求最值 【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.【解】(1)当a1时，直线l的方程为x4y30.曲线C的标准方程是y21.联立得方程组解得或所以C与l交点坐标是(3,0)和.(2)直线l的一般方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos，sin)，则点P到直线l距离d.当a4时，d的最大值为，由题设得，所以a8；当a0)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：cos().(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为，求t的值解：(1)因为直线l的极坐标方程为cos()，即cossin2，所以直线l的直角坐标方程为xy2.因为曲线C的参数方程为(为参数，t0)，所以曲线C的普通方程为y21(t0)，由消去x得，(1t2)y24y4t20，所以164(1t2)(4t2)0，所以0t0，所以t.
