1、 数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的虚轴长是（ ）A8 B C D22.在公差为的等差数列中，“”是“是递增数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔为（ ）A50 B60 C30 D40 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，则等于（ ） A8 B6 C.4 D25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，
2、则这100个成绩的平均数为（ ）A3 B2.5 C.3.5 D2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ）A5 B6 C.7 D87.已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A B C. D8.已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为坐标原点，若，则此抛物线的准线方程为（ ）A B C. D9.某班名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A45 B48 C.50 D5510.已知定点，如果动点满足，则点的
3、轨迹所包围的图形面积等于（ ）A B C. D11.已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A B C. D12.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且，若为等边三角形，则的面积为（ ）A1 B C. D2第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，向量与垂直，则的最大值为 14.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为 15.在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为 16.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的
4、两个公共点，且为等边三角形，则的值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查
5、时发现，此商品的销售单价（百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求关于的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，
6、分别在线段上，是的中点.（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求.22. （本小题满分12分）已知的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1. 因为，所以虚轴长.2. 若，则，所以，是递增数列；若是递增数列，则，推不出3. 由于，即分段的间隔.4. 因为直线过椭圆的右焦点，由椭圆的定义，在中，.又，所以.5. 设这100个成绩的平均数记为，则.6. 男员工应抽取的人数为.7. 设焦距为，则有，解得，所以椭圆.8. 因为，所以，
7、.又，所以，准线方程为.9. ，由，得.10. 设，则由得，化简得，即，所以所求图形的面积.11. 对于命题，将直线平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为，联立方程组，消去得.由得，所以，椭圆上的点到直线最近距离为直线与的距离，所以命题为假命题，于是为真命题.对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题.从而为真命题.12. 由已知，又为等边三角形，所以，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以双曲线方程为，又在双曲线上，所以，解得，即.所以. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以. 14.7 第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，.因为86，所以输出的值为7.
8、 15. 当时，.当，即时，则所求概率为. 16. 如图，因为，所以，点在线段的中垂线上，又，所以可设.由，得，所以的坐标代入方程，得.三、解答题17.解：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，由得，即圆的直角坐标方程为.（2），时最小，此时.18.解：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则解得，即.因或为真，所以至少有一个为真.又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，解得；当为假，为真时，解得.综上，或.19.解：（1）因为，所以，于是得到关于的回归直线方程.（2）销售价为时的利润为，当时，日利润最大.20.（1）解：依题意得：，解得，.（2）记甲组投篮命中
9、次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为9，8，7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为6，8，8，9.依题意，不同的选取方法有：共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有共3种.21.（1）证明：取的中点，连接，则，所以.又平面，所以平面.又是的中位线，所以，从而平面.又，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）解：法1：由平面知，由，知，故平面.由（1）知，面，故.所以是二面角的平面角，即.设，则，又易知在中，可知，在中，. 法2：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标.设，则，则，设是平面的一个法向量，则即取，不难得到平面的一个法向量为，所以，所以，在中，.22.解：（1）因为，所以，.由题意得，解得.从而，结合，得，故椭圆的方程为.（2）由（1）得，设，则直线的方程为，它与直线的交点的坐标为，直线的方程为，它与直线的交点的坐标为，再设以为直径的圆交轴于点，则，从而，即，即，解得.故以为直径的圆交轴于定点，该定点的坐标为或.
