1、第二讲基本初等函数、函数与方程高考导航1对基本初等函数的考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，考查其图象与性质2函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围3函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题考点一指数函数、对数函数、幂函数1指数与对数式的运算公式(1)amanamn.(2)(am)namn.(3)(ab)mambm.其中，a0，b0.(4)loga(MN)logaMlogaN.(5)logalogaMlogaN.(6)logaMnnlogaM.(7)alogaNN.(8)logaN
2、.其中，a0且a1，b0且b1，M0，N0.2指数函数、对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况：当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数1(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca解析alog20.2201，c0.20.3(0,0.20)，即c(0,1)，ac0，所以函数g(x)在上单调递增，g(x)的最大值为，a.故选C.答案C4(2019四川绵阳检测)设a，b都是不等于1的正数，则“ab1”是“loga3logb
3、3”的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析因为loga3logb3，所以，即b1或1ab或b1,0ab1”是“loga30，且a1)，且f(2)g(2)0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是()解析由题意知f(x)ax2是指数型函数，g(x)loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数由f(2)g(2)0，可得g(2)0，故loga20,0a1和0a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a0和0两种情况的不同考点二函数的零点1函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点函数F(x)f(x)g(
4、x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标2零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0时，设g(x)x2，h(x)lnx，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x0时有两个零点综上，函数f(x)有3个零点，故选C.(2)在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，如图，而函数ymx恒过定点，设过点与函数ylnx的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，lnx0)因为ylnx的导函数y，所以图中ylnx的切线l1的斜率为k，则，解得x0，所以k.
5、又图中l2的斜率为，故当方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.答案(1)C(2)探究追问将例(2)中“方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x)m恰有三个不相等的实数根”，结果如何？解在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，如图函数ym恒过定点，设过点与函数y1x2的图象相切的直线为l1，设切点坐标为(x0,1x)，因为y1x2(x1)的导函数y2x0，所以切线l1斜率k2x0，则2x0，解得x0或x02(舍)所以直线l1的斜率为1，结合图可知，当方程f(x)m恰有三个不相等的实根时，实数m的取值范围是(1,0)(1)判断函数零点个数的3种方法(2)
6、利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法1(2019西安模拟)f(x)exx2在下列哪个区间必有零点()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析f (x)ex1，易知当x0时，f (x)0, f(x)单调递减，当x0时，f (x)0, f(x)单调递增，又f(1)10，f(0)10, f(1)e30，故选C.答案C2(2019南昌调研)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，)B(0,13，)C(0，2，)D(0，3，)解析当01时，在同一平面直角坐标系中作出函数y(mx1)2与ym的图象，如图要满足
7、题意，则(m1)21m，解得m3或m0(舍去)，m3.综上，正实数m的取值范围为(0,13，)答案B考点三函数模型及其应用解决函数实际应用题的关键(1)认真读题，缜密地审题，确切地理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解1(2019河南郑州模拟)某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：记录时间累计里程(单位：千米)平均耗电量(单位：kWh/千米)剩余续航里程(单位：千米)2019年1月1日40000.125
8、2802019年1月2日41000.126146(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量，剩余续航里程)下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是()A等于12.5 B在12.5到12.6之间C等于12.6 D大于12.6解析41000.12640000.125516.650016.6.故选D.答案D2(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比
9、值为()A1010.1 B10.1Clg10.1 D1010.1解析依题意，m126.7，m21.45，所以lg1.45(26.7)25.25，所以lg25.2510.1，所以1010.1.故选A.答案A3(2019云南昆明调研)某品牌手机销售商2019年1,2,3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的月销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数或函数yabxc(b0，b1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则估计5月份的销售量为_万部解析设二次函数为ypx2q
10、xr(p0)，由已知得得y0.05x20.35x0.7.当x4时，y10.05420.3540.71.3.对于函数yabxc，由已知得得yx.当x4时，y241.35.4月份的实际销售量为1.37万部，且|y21.37|0.020.07|y11.37|，用函数yx作为模拟函数较好，则5月份的销售量为51.375(万部)答案1.375应用函数模型解决实际问题的一般程序1(2019天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aacb BabcCbca Dcab解析因为alog52log0.50.51，c0.50.2，0.50.21，所以ac0，且a1
11、)的图象可能是()解析对于函数yloga，当y0时，有x1，得x，即yloga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y与yloga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.答案D3(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析g(x)f(x)xa存在2个零点等价于函数f(x)与h(x)xa的图象存在2个交点，如图，当x0时，h(0)a，由图可知要满足yf(x)与yh(x)的图象存在2个交点，需要a1，即a1.故选C.答案C4(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0可得x0时，f(x)f(x
12、)ea(x)eax，则f(ln2)ealn28，aln2ln83ln2，a3.解法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln2)f(ealn)8，alnln83ln2，a3.答案35(2018天津卷)已知a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_解析设g(x)f(x)ax方程f(x)ax恰有2个互异的实数解即函数yg(x)有两个零点，即yg(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的yg(x)的图象有以下三种情况：情况一：则4a0，则|lnt|3，解得te3或te3，若x0，则2x1e3或2x1e3，解得x(舍)或x；若x0，则|lnx|e3或|
13、lnx|e3，解得xee3或ee3或ee3或ee3，故一共有5个根，选C.答案C2(2019安徽马鞍山一模)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)2(a1)f(x)a0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A1,2 B(1,2)C(2，1) D2，1解析函数f(x)的图象如图：关于x的方程f(x)2(a1)f(x)a0有7个不等的实数根，即f(x)af(x)10有7个不等的实数根，易知f(x)1有3个不等的实数根，f(x)a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知a(1,2)，a(2，1)故选C.答案C专题强化训练(二十八)一、选择题1(2019鄂尔多斯期中)不等式x2832x
14、的解集是()Ax|2x4 Bx|2x4Cx|x2解析题中的不等式即3(x28)32x，结合指数函数的单调性可得(x28)2x，求解二次不等式可得原不等式的解集为x|2x0时， f(x)ex，则f()A B.C2 D2解析函数f(x)是定义域为R的奇函数，则ff(ln2)f(ln2)eln22.故选C.答案C3(2019包头质检)若幂函数yf(x)的图象过点，则f(21log23)为()A. B.C. D1解析幂函数yf(x)的图象过点，可设f(x)x，5，解得1，f(x)x1.f(21log23)f(2log23)f1，故选C.答案C4(2019广东揭阳一模)曲线yx与yx的交点横坐标所在区间
15、为()A. B.C. D.解析设f(x)xx，易知f(x)单调递减，f0，f0，ff0，函数f(x)lnxex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.故选A. 答案A7(2019河南南阳模拟)设函数f(x)mx2mx1，若对于x1,3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为()A(，0 B.C(，0) D.解析f(x)m4对于x1,3恒成立即m(x2x1)5对于x1,3恒成立当x1,3时，x2x11,7，不等式f(x)m4等价于m.当x3时，取最小值，若要不等式m对于x1,3恒成立，则必须满足m，因此，实数m的取值范围为，故选D.答案D8(2019河北唐山模拟)已知函数f(x)x2ax6，
16、g(x)x4，若对任意x1(0，)，存在x2(，1，使f(x1)g(x2)，则实数a的最大值为()A6 B4 C3 D2解析由题意可知问题转化为f(x)maxg(x)max, f(x)x2ax6(x2ax)626，当x0，即a0时， f(x)在(0，)上单调递减， f(x)0，即a0时，f(x)maxf6.而g(x)x4在(，1上单调递增，故g(x)maxg(1)3.故或解得a6，所以a的最大值是6，故选A.答案A9(2019河南平顶山一模)新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映月销售量y(台)与投
17、放市场的月数x之间的关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100解析对于A中的函数，当x3或x4时，误差较大对于B中的函数，当x4时，误差也较大对于C中的函数，当x1,2,3时，误差为0，x4时，误差为10，误差很小对于D中的函数，当x4时，y300，与实际值790相差很大综上，C中的函数误差最小故选C.答案C10(2019福建漳州二模)已知函数f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx1x3x2 Dx3x2x1解析f(x)x2x的零点必小于0，g
18、(x)xlnx的零点必位于(0,1)内，函数h(x)x1的零点必大于1.因此，这三个函数的零点依次增大，故x1x2x3.答案A11(2019山东济南模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为()A2a1 B2a1C12a D12a解析当1xx0，当x1时，x1.又f(x)为奇函数，x0时，f(x)f(x)画出yf(x)和ya(0a2或x0，函数g(x)单调递增，当0x2时，g(x)0，函数g(x)单调递减当x2时，函数有极小值，为g(2)，且当x0时，g(x)(0，)，函数f(x)kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，y
19、k与g(x)的图象只有一个交点，结合图象可得，0k，故选B.答案B二、填空题13(2019河北沧州联考)若幂函数y(m23m3)xm2m1的图象不过原点，则m_.解析因为幂函数y(m23m3)xm2m1的图象不过原点，所以解得m1，符合题意故答案为1.答案114(2019福建龙岩质检)函数f(x)xlog2(x4)在区间2,2上的最大值为_解析因为函数yx，ylog2(x4)在区间2,2上都单调递减，所以函数f(x)xlog2(x4)在区间2,2上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(2)2log2(24)918.答案815(2019沈阳二模)一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升
20、到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过_小时才能开车(精确到1小时，lg20.30，lg30.48)解析设经过n小时后驾驶员才能开车，此时酒精含量为0.3(10.25)n.根据题意，有0.3(10.25)n0.09，即(10.25)n0.3，在不等式两边取对数，则有nlgn(lg32lg2)lg0.3lg31，将已知数据代入，得n(0.480.6)0.481，解得n4，故至少经过5小时驾驶员才能开车答案516(2019吉林一模)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时， f(x)则函数yff(x)1零点的个数为_解析函数yff(x)1零点的个数等价于方程ff(x)1实数根的个数，令f(x)，则f()1.方程f()1有3个实数根，且1，20，3.方程1f(x)有2个实数根，方程2f(x)有2个实数根，方程3f(x)有4个实数根，故函数yff(x)1有8个零点答案8
