1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 2 讲 函数的单调性与最大（小）值 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数 f(x)，xD，若 x1，x2D 且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数()(3)函数 y|x|是 R 上的增函数()(4)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破解 设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(
2、1，1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递增 结束放映返回目录第4页 考点突破规律方法 判断函数单调性的常用方法：(1)定义法注意证明函数单调性只能用定义法和导数法(2)图象法由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接 考点一 确定函数的单调性或单调区间结束放映返回目录第5页 考点突破证明 法一 任意取x1x20，【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；
3、(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2考点一 确定函数的单调性或单调区间(x1x2)ax1 ax2(x1x2)a（x2x1）x1x2(x1x2)1 ax1x2.当 ax1x20 时，x1x20，1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)在(0，a上为减函数；结束放映返回目录第6页 考点突破【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间当 x1x2
4、a时，x1x20，1 ax1x20，考点一 确定函数的单调性或单调区间有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)在 a，)上为增函数；综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0，a上为减函数；在 a，)上为增函数深度思考 解决函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试.结束放映返回目录第7页 考点突破【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间法二 f(x)1 ax2，考点一 确定函数的单调性或单调
5、区间令 f(x)0，则 1ax20，解得 x a或 x a(舍)令 f(x)0，则 1 ax20，解得 ax a.x0，0 x a.f(x)在(0，a)上为减函数；在(a，)上为增函数，也称为 f(x)在(0，a上为减函数；在 a，)上为增函数结束放映返回目录第8页 考点突破【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间(2)解 令 ux24x3，考点一 确定函数的单调性或单调区间原函数可以看作 ylog13u 与 ux24x3 的复合函数函数 ylog13(x24x
6、3)的定义域为(，1)(3，)令ux24x30.则x1或x3.又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数结束放映返回目录第9页 考点突破【训练 1】(1)已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数；(2)求函数 ylog13(x24x3)的单调区间而函数 ylog13u 在(0，)上是减函数，考点一 确定函数的单调性或单调区间ylog13(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)接上一页ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数结束放映返回目
7、录第10页 考点突破考点二 利用函数的单调性求参数范围当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，解析(1)当a0时，f(x)2x3，因为f(x)在(，4)上单调递增，【例 2】(1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A14，B14，C14，0D14，0(2)见下一页在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；所以 a0，且1a4，解得14a0.综合上述得14a0.借助二次函数的对称轴和区间关系结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 利用函数的单调性求参数范围则必有3a10，0a1，g(1)0，【例 2】（2）(2015奉
8、化模拟)已知 f(x)(3a1)x4a，x1，logax，x1，是(，)上的减函数，那么 a 的取值范围是()A(0，1)B0，13C17，13D17，117a13.答案(1)D(2)C解析(2)当x1时，loga10，若f(x)为R上的减函数，则(3a1)x4a0在x1时恒成立 令g(x)(3a1)x4a，可用定义法或导数法即3a10，0a1，3a14a0结束放映返回目录第12页 考点突破规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值考点二
9、 利用函数的单调性求参数范围结束放映返回目录第13页 考点突破解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D答案 D考点二 利用函数的单调性求参数范围【训练 2】(1)(2014北京西城区模拟)设函数 f(x)x24x，x4，log2x，x4.若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A(，1 B1，4C4，)D(，14，)结束放映返回目录第14页 考点突破考点二 利用函数的单调性求参数范围(2)法一 f(x)ax1x1 aa1x1，【训练 2】(2)若函数 f(x)ax1x1 在(，
10、1)上是减函数，则 a的取值范围是_由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a1.故a的取值范围是(，1)则 f(x1)f(x2)a a1x11 a a1x21 a1x21 a1x11（a1）（x1x2）（x11）（x21），设x1x20.结束放映返回目录第15页 考点突破考点二 利用函数的单调性求参数范围法二 由 f(x)ax1x1，【训练 2】(2)若函数 f(x)ax1x1 在(，1)上是减函数，则 a的取值范围是_解得a1，而a1时，f(x)1，在(，1)上不具有单调性，故a的取值范围是(，1)答案(1)D(2)(，1)得 f(x)a1(x1)2又因为 f(x)ax1
11、x1 在(，1)上是减函数，所以 f(x)a1(x1)20 在 x(，1)上恒成立，结束放映返回目录第16页 考点突破(1)证明 设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数 考点三 利用函数的单调性求最值【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在3，3上的最大值和最小值结束放映返回目录第
12、17页 考点突破(2)解 f(x)在R上是减函数，f(x)在3，3上也是减函数，f(x)在3，3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，又函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0，再令yx，得f(x)f(x)，f(3)f(3)2.f(x)在3，3上的最大值为2，最小值为2.考点三 利用函数的单调性求最值【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在3，3上的最大值和最小值结束放映返回目录第
13、18页 考点突破规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)在区间a，c上的最大值是f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区间a，c上的最小值是f(b)考点三 利用函数的单调性求最值结束放映返回目录第19页 考点突破解析 根据f(1x)f(x)，考点三 利用函数的单调性求最值【训练 3】如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，且当 x12时，f(x)log2(3x1)，那么函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为()A2 B
14、3 C4 D1可知函数 f(x)的图象关于直线 x12对称又函数 f(x)在12，上单调递增，故 f(x)在，12 上单调递减，则函数f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.答案 C 结束放映返回目录第20页 3对于集合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现思想方法课堂小结1利用定义判断或证明函数的单调性设任意 x1，x2a，b且 x1x2，那么(1)f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数；f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x
15、2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数结束放映返回目录第21页 2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义 域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质3复合函数的单调性 对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数 简称：同增异减 3对于集合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现思想方法课堂小结结束放映返回目录第22页 1函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的2讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域3函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.易错防范课堂小结结束放映返回目录第23页（见教辅）
