1、教师专用真题精编(2018课标全国,20,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.解析(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB.因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,所以OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知
2、得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),所以AP=(0,2,23).取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0a2),则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由APn=0,AMn=0得2y+23z=0,ax+(4-a)y=0,可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos=23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2.由已知可得|cos|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32.解得a=-4(舍去)或a=43.所以n=-833,433,-43.又PC=(0,2,-23),所以cos=34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.
