1、 5.4数系的扩充和复数的引入A组基础题组 1.(2018浙江,4,4分)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案B本小题考查复数的有关概念和运算.21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,21-i的共轭复数为1-i.2.已知复数z=1+ai1-i(aR)的虚部为1,则a=()A.1B.-1C.-2D.2答案A因为z=1+ai1-i=(1+ai)(1+i)(1-i)(1+i)=1-a+(a+1)i2=1-a2+a+12i的虚部为1,所以a+12=1,即a=1,故选A.3.把复数z的共轭复数记作z,若(1+i)z=1-i,i为虚数单位
2、,则z=()A.iB.-iC.1-iD.1+i答案A由(1+i)z=1-i,得(1-i)z=1+i,所以z=1+i1-i=i,故选A.4.已知复数z=a-1+(a2-2)i在复平面上对应的点落在第四象限,则实数a的取值范围是()A.(-2,1) B.(1,2) C.1,2D.(-2,2)答案B由题意得,a-10,a2-201a2,故选B.5.设z=i1-i(i为虚数单位),则1|z|=()A.22B.2C.12D.2答案B因为|z|=i1-i=|i|1-i|=12=22,所以1|z|=2,故选B.6.设复数z1=-1+2i,z2=2+i,其中i为虚数单位,则z1z2=()A.-4B.3iC.-
3、3+4iD.-4+3i答案Dz1z2=(-1+2i)(2+i)=-4+3i,故选D.7.(2019台州中学月考)已知i是虚数单位,复数z满足z(1-i)=2-3i,则复数z所表示的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D由题可知,z=2-3i1-i=(2-3i)(1+i)(1-i)(1+i)=5-i2,在复平面内,z对应的点52,-12在第四象限,故选D.8.计算:|3-i|=,10i3-i=.答案10;-1+3i解析|3-i|=32+(-1)2=10,10i3-i=10i(3+i)(3-i)(3+i)=10(3i-1)10=-1+3i.9.(2018浙江杭州学
4、军中学联考)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则|(1-z)z|=.答案10解析因为z=-1-i,所以z=-1+i,所以(1-z)z=(2+i)(-1+i)=-3+i,所以|(1-z)z|=|-3+i|=10.10.(2018浙江宁波南三县六校联考)已知i是虚数单位,m,nR,且m(1+i)=1+ni,则m+nim-ni2=.答案-1解析由m(1+i)=1+ni,得m+mi=1+ni,所以m=n=1,所以m+nim-ni2=1+i1-i2=-1.11.复数|1+2i|+1-3i1+i2(i为虚数单位)=.答案i解析原式=12+(2)2+(1-3i)2(1+i)2=3+-2-
5、23i2i=3+i-3=i.12.(2019镇海中学月考)已知i为虚数单位,若复数z1=cos 15+sin 15i,复数z2=cos 45+sin 45i,则z1z2=.答案12+32i解析z1z2=(cos 15+sin 15i)(cos 45+sin 45i)=cos 15cos 45-sin 15sin 45+(sin 15cos 45+cos 15sin 45)i=cos 60+sin 60i=12+32i.13.已知复数z=i+i2+i3+i2 0181+i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应点的坐标为.答案(0,1)解析因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+
6、i2+i3+i4=0,而2 018=4504+2,所以z=i+i2+i3+i2 0181+i=i+i21+i=i(1+i)1+i=i,所以复数z在复平面内对应点的坐标为(0,1).14.已知复数z=x+yi(x,yR,i为虚数单位),且|z-2|=3,则yx的最大值为.答案3解析因为|z-2|=3,即|(x-2)+yi|=3,所以(x-2)2+y2=3,而(x-2)2+y2=3表示一个圆,yx表示圆上的点(x,y)与原点连线的斜率,令k=yx,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率最大或最小.由|2k-0|1+k2=3,得k2=3,k=3,yx的最大值为3.B组提升题组1.已知i是虚数单位
7、,复数z=12+i,则zz=() A.25B.5C.125D.15答案Dzz=|z|2=122+12=15,故选D.2.设i是虚数单位,若复数z=(2+i)(1-ai)在复平面内对应的点在虚轴上,则实数a的值为()A.2 B.-2C.12D.-12答案Bz=(2+i)(1-ai)=2+a+(1-2a)i,由题意知z为纯虚数,所以2+a=0,即a=-2,此时1-2a0,故选B.3.已知复数z=1+i(其中i是虚数单位),则1-z3z=()A.12-52iB.12+52iC.-12-52iD.-12+52i 答案A1-z3z=1z-z2=11+i-(1+i)2=1-i2-2i=12-52i,故选A
8、.4.(2019绍兴一中月考)在复平面内,复数z=1-i对应的向量为OP,复数z2对应的向量为OQ,那么向量PQ对应的复数为( )A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i答案D易知z2=-2i,又PQ=OQ-OP,故向量PQ对应的复数为-2i-(1-i)=-1-i,故选D.5.设i是虚数单位,则复数z=(i-1)2 017的虚部为( )A.-21 008i B.-21 008C.21 008iD.21 008答案D(i-1)2 017=(i-1)2 016(i-1)=(i-1)21 008(i-1)=(-2i)1 008(i-1)=21 008(i-1),所以z的虚部为21 008,故选D
9、.6.(2019镇海中学月考)已知复数z=1+aii(aR)的实部为1,则a=,|z|=.答案1;2解析z=1+aii=a-i,由题意得a=1,进而得|z|=2.7.已知复数z满足1-iz=1+i,则z=;若实数x满足|x-z|2,则x的取值范围是.答案-i;-3,3解析z=1-i1+i=-i,|x-z|=|x+i|2,即x2+12,所以x-3,3.8.若虚数z同时满足下列两个条件:z+5z是实数;z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解析这样的虚数存在,z=-1-2i或z=-2-i.设z=a+bi(a,bR,且b0),则z+5z=a+bi+5a+bi=a+bi+5(a-bi)a2+b2=a+5aa2+b2+b-5ba2+b2i.z+5z是实数,b-5ba2+b2=0.又b0,a2+b2=5.又z+3=a+3+bi的实部与虚部互为相反数,a+3+b=0.联立得a+b+3=0,a2+b2=5,解得a=-1,b=-2或a=-2,b=-1,故存在满足题中两个条件的虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.
