1、苏州市20222023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2023.01注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.记正项数列的前项和为，且
2、是等比数列，且，则（）A.16B.4C.8D.2.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.3.设数列各项非零，且平面的法向量为，直线的方向向量为，则“数列为等比数列”是“平面平行于直线”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为.过且倾斜角为30的直线与椭圆的一个交点为，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.5.如图，正方形的边长为14cm，依次将，分为的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形、.一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为，为正整数，且与恒满足不等式，则的最
3、小值是（）A.19B.20C.21D.226.已知数列，且，记其前项和为.若是公差为的等差数列，则（）A.200B.20200C.10500D.101007.如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱的轴线在平面内且平行于轴，圆锥与圆柱的高相同.为圆锥底面圆的直径，且.若到圆所在平面距离为2.若，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.8.在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面上水平放置着一个半径为0.5m的正圆，其圆心与絮语同学所站位置距离2m.若絮语同学的视平面，且，则絮语同学视平面上的图形的离心率为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每
4、小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知直线，设两直线分别过定点、，直线和直线的交点为，则下列结论正确的是（）A.直线过定点，直线过定点B.C.面积的最大值为5D.若，则恒满足10.设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（）A.和不存在交点B.若，则直线与相切C.若是等腰三角形，的坐标是D.若，则的横坐标为11.数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用。数列是把中的分母不大于的分子与分母互质的分数从小到
5、大排成一列，该数列称为阶数列，记为，并记其所有项之和为.数列还有一个神奇的性质.若设的相邻两项分别为，则.下列关于数列说法正确的是（）A.B.数列中共有18项C.当时，的最中间一项一定是D.若中的相邻三项分比为，则12.如图1，瀑布是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点为该正方体的中心，轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着轴，轴，轴旋转45，得到的三个正方体，结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（）A.设点的
6、坐标为，则B.设，则C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知，且，则_.14.若数列和数列同时满足，则_，_.15.若，且在上，在圆上，则的最小值为_.16.已知圆的直径上有两点，且有，为圆的一条弦，则的范围是_.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是学习音乐的必
7、修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱（和读谱）的方法是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关系，即1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（sol），6（la），7（ti），i（do）.如图，在钢琴上，一个八度内白键、黑键共有13个（不计入图中最右侧的半个黑键），相邻琴键对应的音符频率比相等且1的频率与的频率比为2.（1）若两音与的音程关系为一度，求两音的频率比；（2）利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设1的
8、频率为，在1的基础上不断升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于的音降一个八度，请你利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符（无需一一对应）.参考数据：1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.89218.（本小题满分12分）已知抛物线，记其焦点为.设直线到在直线左侧的抛物线上的一点的距离为，且.（1）求的方程；（2）如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若分别交于两点，交抛物线于、两点，证明：为定值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥中，且平面平面，设为平面的重心，为
9、平面的重心.（1）棱可能垂直于平面吗？若可能，求二面角的正弦值，若不可能，说明理由；（2）求与夹角余弦值的最大值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为3.（1）求的轨迹；（2）记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.21.（本小题满分12分）（1）如图，一个半径为的圆在一条直线上无滑动地滚动，与轴的切点为，设，圆上一点.设平行于轴的单位向量为，平行于轴的单位向量为，用表示；在的条件下，用题中所给字母表示，并以的形式写出运动轨迹的方程.（2）如图，设点在空间直角坐标系内从开始，以的角速度绕着轴作圆周运动，同
10、时沿着平行于轴向上作线速度为的匀速直线运动.用题中所给字母表示的运动轨迹的方程.22.（本小题满分12分）已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为，且.（1）求的方程；（2）设上有三点、，直线、分别过，连接.若，求的面积；证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点.苏州市20222023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案2023.01一、单项选择题：题号12345678答案CBDCCDCD1.【答案】C【解析】由等比数列的性质，因此，取，所以，因此，因此.2.【答案】B【解析】直线方程可化为，可知倾斜角满足，因此.3.【答案】D【解析】若已知数列为等比数列，则可知，因此，所以可知
11、，但无法得知是否在平面内，因此充分性不成立；若已知平面平行于直线，则可知，根据定义，及即可得到，即，但不能认为为等比数列，即必要性不一定成立.4.【答案】C【解析】画出图形：由于，可知，即.由此得到，所以离心率.5.【答案】C【解析】由题意可知，.所以，因此由数学归纳的思想可知，.设数列，则，因此，选C.6.【答案】D【解析】容易得到的首项，因此，将替换为，则有，两式相减得.由于，所以，可得，因此，所以.7.【答案】C【解析】设，.，所以，所以所以，这里取，所以，因此由余弦定理，.8.【答案】D【解析】画出题中所述图：可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即通过相似关系，由及，代入
12、数据：，所以，所以，所以.二、多项选择题：题号9101112答案ABBDCDACD9.【答案】AB【解析】对于A，可化作，可发现过定点，同理，过定点，A正确；对于B，可知恒成立，因此是以为直径的圆上的点，根据定义，B正确；对于C，故C错误；对于D，可知在圆上运动，设，而由题设，化简可得，与的方程不符合，故D错误.10.【答案】BD【解析】对于A，联立：，发现有解，A错误；对于B，因此的方程为，与抛物线方程联立，解得仅一解，B正确；对于C，不在抛物线上，故C错误；对于D，因此，解得D正确.11.【答案】CD【解析】对于A，每个数列内同分母的所有项相加不等于1，也不成立，A错误；对于B，列举可得：
13、，共19项，B错误；对于C，由于数列按照大小排列，因此中间一项一定为，C正确；对于D，由于，整理即可得到，D正确.12.【答案】ACD【解析】正方体棱长为2，面对角线长为，由题意，旋转后，对于A，旋转过程中，正方体的顶点到中心的距离不变，始终为，因此选项A中，2，3，正确；，设，则，则存在实数，使得，B错误；，设是平面的一个法向量，则，令，得，又，到平面的距离为，C正确；，设，令，则，又，所以，即，所以，夹角的最小值为，从而直线与直线所成角最小为，D正确.三、填空题：13.14.；15.116.13.【答案】【解析】，.14.【答案】；【解析】令前式-后式，化简可得，令前式+后式，化简可得由，
14、且，故是首项为1，公差为2的等差数列.可得由，且，故是首项为1，公比为的等比数列.可得所以.15.【答案】1【解析】如图，等号在、共线时取到.16.【答案】【解析】方法一：以方向为轴，为原点建立平面直角坐标系，则，.由于圆，故设，则，化简可得：，因此.令，则，等号可取.，令，则，等号可取.综上，.方法二：由于，且.所以，所以.四、解答题：17.本题考查数列的定义及其数学文化，考察了学生数学运算、数学抽象与逻辑推理能力，本题满分10分.解：（1）由题，若两个音距离一个八度，则频率比为2，所以若两个音的音程为一度，半个音（即相邻琴键）之间的频率比为，2分所以两个成一度之间的音符频率比为.4分（2）
15、通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”：，6分将其中大于的降一个八度，即除以：，9分根据参考数据可以估计得到，五个音分别为1，5，2，6，3.因此“宫商角徵羽”对应的音高为1，2，3，5，6.10分18.本题考察抛物线的定义，同时考察学生逻辑推理与数学运算的能力，本题满分12分.解：（1）设抛物线的准线的方程为，则可知，解得，2分所以的方程为.3分（2）作于，于.由抛物线定义，5分又因为，所以，8分由此，所以，10分所以，为定值.12分19.本题考察空间向量的运算与应用，考察学生数学建模、逻辑推理、数学运算、数学抽象与直观想象的能力，本题满分12分.解：（1）设中点为，连接，由于，因此，又因
16、为平面平面，所以平面.以为原点作空间直角坐标系，则，设，则.2分所以，.设平面的法向量为，则有，所以取，则.因为棱可能垂直于平面，所以，则，无解，所以不可能4分（2）由重心的性质，同理，所以7分，所以8分设，令，则，10分.令，则，因为，所以，即，又因为，所以在上是减函数11分因此，因此，求与夹角余弦值的最大值为.12分20.本题考察双曲线的定义与几何性质，同时考察学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和直观想象的能力，本题满分12分.解：（1）设，由题意，化简可得所以的轨迹为.3分（不去点扣1分）（2）由向量积的几何意义，作，垂足为.所以，因此，.5分设，联立：，可得二次方程判别式有，解得6分由方
17、程可得，7分由弦长公式9分解得，11分因此的方程为或.12分（注：每少一个解扣1分）21.本题考察向量的综合运用，同时考察学生数学运算、数学抽象和直观想象等能力，本题满分12分.解：（1）.2分由题，可以分解为.4分所以，5分因此的运动轨迹可以表示为.6分（2）设该坐标系的基底为.7分设在平面内的投影为，所以由物理学知识，.8分由题设，可以将记作10分因此类似（1）中可以表示的轨迹为.将分别代入和，11分可得：，消去、，可得.12分22.本题考察椭圆及椭圆的几何性质和函数最值得应用，同时考察学生数学运算、数学抽象和直观想象等能力，本题满分12分.解：（1）可知，所以，因此.1分所以的方程为.2分（2）可知直线的方程为，直线的方程为.联立可解得，3分因此.4分设直线和直线的方程为，设，联立和椭圆：，可得，同理：.5分又因为，所以，即；同理，即；7分设，于是9分因此又因为，所以：，设，10分下面证明：，化简：，即证明，而的判别式小于等于0，因此原题得证.12分
