1、82立体图形的直观图新课程标准解读核心素养能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图直观想象、数学抽象图中的国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象成一个几何体长方体问题你能画出一个长方体吗？知识点一直观图的概念把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图直观图与立体图形一定相同吗？提示：不一定相同空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形知识点二斜二测画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤对斜二测画法的再理解(1)“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系xOy，使
2、xOy45(或135)，即y轴是斜的，反映投影线是斜的；(2)“二测”：平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度” 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直()(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行()(3)正方形的直观图为平行四边形()(4)梯形的直观图不是梯形()答案：(1)(2)(3)(4)2用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴，y轴，且A90，则在直观图中A()A45B135C45或135 D90解析：选C在画直观图时
3、，A的两边依然分别平行于x轴，y轴，而xOy45或135.故选C.3如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直故选A.知识点三空间几何体直观图的画法1画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z轴2画底面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面3画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变4成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的
4、部分，虚线表示看不见(被遮挡)的部分平面图形的直观图的画法例1(链接教科书第108页例1)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标
5、轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段 跟踪训练用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOCOBOC2 cm，在y轴上取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示.空间几何体的直观图的画法例2(链接教科书第109页例2)画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解画法：(1)画轴画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy45(或13
6、5)，xOz90，如图(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面，再作z轴与平面xOy垂直；(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变；(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段，且线段长度画成原来的一半；(4)平行于
7、z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变 跟踪训练用斜二测画法画出正五棱柱的直观图解：(1)画轴画x轴、y轴和z轴，使xOy45(或135)，xOz90，如图所示(2)画底面以O为中心在xOy平面内画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱过点A，B，C，D，E分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE都相等(4)成图顺次连接A，B，C，D，E，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图所示.直观图的还原与计算例3(1)如图，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB，则这个平面图形的面积是()A1B.C2 D4(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直
8、观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形，并求原图形的面积. (1)解析由题图知，OAB为直角三角形OB，AB，OA2.在原OAB中，OB，OA4，SOAB42.故选C.答案C(2)解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12.在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12.连接BC，便得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.面积为S25.母题探究1(变条件)本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形中
9、，ABC45，ABAD1，DCBC，求原图形的面积. 解：如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，所以BE.而四边形AECD为矩形，AD1，所以ECAD1.所以BCBEEC1.由此可还原原图形如图，是一个直角梯形在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，所以原图形的面积为S(ADBC)AB22.2(变条件、变设问)本例(1)若改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为aa，所以SABCaaa2.1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，
10、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有SS或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积 跟踪训练如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_(填四边形的形状)解析：如图所示，在原图形OABC中，应有OAOA6 cm，OD2OD224(cm)，CDCD2 cm，OC6(cm)，OAOC，又OABC，OABC，故四边形OAB
11、C是菱形答案：菱形1如图，已知等腰三角形ABC，则下图所示的四个图形中，可能是ABC的直观图的是()A BC D解析：选D当xOy135时，其直观图是；当xOy45时，其直观图是.2若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在xOy平面上，则圆柱的高应画成()A平行于z轴且大小为10 cmB平行于z轴且大小为5 cmC与z轴成45且大小为10 cmD与z轴成45且大小为5 cm解析：选A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致故选A.3.如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP3，OR2，所以原四边形OPQR的周长为2(32)10.答案：10
