1、33全称命题与特称命题的否定1全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的全称命题的否定是特称命题一般地，全称命题“所有的xA，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在xA，使p(x)不成立”2特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的特称命题的否定是全称命题一般地，特称命题“存在xA，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的xA，使p(x)不成立” 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定
2、真假性相反()(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定()(3)从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定()答案：(1)(2)(3) 已知命题：任意xR，sin x1，则它的否定是()A存在xR，sin x1B任意xR，sin x1C存在xR，sin x1D任意xR，sin x1解析：选A全称命题的否定为特称命题 命题：“存在xR，x22x40”的否定是_解析：特称命题的否定为全称命题，故命题“存在xR，x22x40”的否定是“对任意的xR，x22x40”答案：对任意的xR，x22x401“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析(1
3、)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词(2)与一般命题的否定相同，对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词2对含有一个量词的命题的否定要注意的问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等(4)
4、无量词的全称命题要先补回量词再否定全称命题的否定写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假(1)p：一切分数都是有理数；(2)p：任何一个平行四边形的对边都平行解(1)命题的否定：存在一个分数不是有理数，假命题(2)命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行，假命题(1)对全称命题否定的两个步骤改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词否定性质：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等 (2)全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可1.写出下列全称命题的否定：(1)p：所有自然数的平方都是正数；(2)p
5、：任何实数x都是方程5x120的根；(3)p：对任意实数x，x210解：(1)命题的否定：有些自然数的平方不是正数(2)命题的否定：存在实数x不是方程5x120的根(3)命题的否定：存在实数x，使得x210特称命题的否定写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在xR，x210；(4)存在x，yZ，使得xy3解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”它为假命题(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的
6、否定是假命题(3)命题的否定是“不存在xR，使x210”，即“任意xR，x210”x2110，因此命题的否定是真命题(4)命题的否定是“任意x，yZ，xy3”当x0，y3时，xy3，因此命题的否定是假命题(1)对特称命题否定的两个步骤改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词否定性质：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等(2)特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可 2.写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假(1)存在x1，使x22x30；(2)若an2n1，则存在nN，使Sn1，x22x30，
7、假命题(2)若an2n1，则任意nN，Sn0，假命题(3)所有的平行四边形都是矩形，假命题含一个量词的命题否定的应用(1)已知命题p：“至少存在一个实数x1，2，使不等式x22ax2a0成立”为真，试求参数a的取值范围；(2)已知命题p：“对任意xR，x2mx10”为假命题，求实数m的取值范围解(1)由已知得命题p的否定为：对任意x1，2，x22ax2a0成立所以设f(x)x22ax2a，则所以解得a3，因为命题p的否定为假，所以a3，即a的取值范围是(3，)(2)因为p为假命题，所以p的否定：“存在xR，x2mx10”为真命题，所以mR(1)当含一个量词的命题真假不易判断时，可转化为对其否定
8、的真假判断；(2)已知含一个量词的命题为假命题，求参数的范围时，常转化为其否定为真命题加以求解 3.(1)若命题“存在xR，使得x2mx2m30均成立”是假命题，则实数a的取值范围是()A(1，)B1，)C(，1)D(，1解析：(1)选A该命题的否定“对任意的xR，都有x2mx2m30”为真命题，即m24(2m3)0，得m2，6(2)选D该命题的否定“存在实数x，使得x22xa0”为真命题，即224a0得a1易错警示因否定不全面致误写出命题p：“存在x0，1，0”的否定，并判断p与其否定的真假解p的否定为：“对任意x0，1，0或无意义”由于存在x0，1，0不成立，故p为假命题其否定为真命题(1
9、)本例易出现把p的否定写为“对任意的x0，1，0”，从而漏掉无意义这一可能出现的情况(2)对于含有一个量词的命题否定时，应注意无意义的情况是否可能出现1命题“对任意的xR，sin x0”的否定是()A存在xR，sin x0B对任意的xR，sin x0C存在xR，sin x0D对任意的xR，sin x0解析：选A这是一个全称命题，其否定为：存在xR，sin x02“命题存在xR，x2ax4a0为假命题”是“16a0”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为“存在xR，x2ax4a0”为假命题，所以它的否定“对任意的xR，x2ax4a0”为真命题，所以a
10、216a0，即16a0.所以“命题存在xR，x2ax4ay，则x2y2，则命题p的否定为_，否命题为_解析：命题p的否定为：存在x，yR，若xy，则x2y2否命题为：任意x，yR，若xy，则x2y2，答案：存在x，yR，若xy，则x2y2任意x，yR，若xy，则x2y24命题p：对任意x0，xa；命题q：x22ax10解集非空，若p、q都是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由于p为真，要使得不等式恒成立，只需a0时，x2，所以a2，又因为q为真，要使得不等式有解，只需0，即(2a)240，解得a1或a1，因为p、q都是真命题，所以故a1或1a2答案：(，11，2)A基础达标1命题“每一个四边
11、形的四个顶点共圆”的否定是()A存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B存在一个四边形，它的四个顶点共圆C所有四边形的四个顶点共圆D所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A2下列四个命题中，真命题是()A对任意的xR，x2B存在xR，x2C存在xR，|x1|0解析：选B对于A：当x1时，x22，排除A；对任意xR，|x1|0，排除C和D，故选B3命题“原函数与反函数的图像关于yx对称”的否定是()A原函数与反函数的图像关于yx对称B原函数不与反函数的图像关于yx对称C存在一个函数，其原
12、函数与反函数的图像不关于yx对称D存在原函数与反函数的图像关于yx对称解析：选C命题“任意xM，p(x)”的否定是“存在xM，p(x)不成立”4已知函数f(x)|2x1|，若命题“存在x1，x2a，b且x1x2，使得f(x1)f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是()Aa0Ba0Cb0Db1解析：选B函数f(x)|2x1|的图象如图所示由图可知f(x)在(，0上为减函数，在(0，)上为增函数，所以要满足存在x1，x2a，b且x1x2，使得f(x1)f(x2)为真命题，则必有a0，故选B5已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若对任意x11，2，存在x21，2，使得f(x1)g
13、(x2)，则实数a的取值范围是()ABC(0，3D3，)解析：选D由函数的性质可得函数f(x)x22x的值域为1，3，g(x)ax2的值域是2a，22a因为对任意x11，2，存在x21，2，使得f(x1)g(x2)，所以1，32a，22a，所以解得a36命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是_解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”答案：有些长方体不是四棱柱7命题“至少有一个正实数x满足方程x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数x都不满足方程x22(
14、a1)x2a608若命题：“存在xR，使得x2(1a)x10，解得a3答案：(，1)(3，)9写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：无论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2x10；(3)r：等圆的面积相等，周长相等；(4)s：对任意角，都有sin2cos21解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定为：“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”当14m0，即m0.利用配方法可以验证q的否定是一个真命题(3)这一命题的否定是：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知r的否定是一个假命题(4)这一命题的否
15、定是存在R，使sin2cos21.由于命题s是真命题，所以s的否定是假命题10设命题p：对任意的xR，x2xa；命题q：存在xR，x22ax2a0，如果命题p真且命题q假，求a的取值范围解：因为命题p为真命题，所以对任意的xR，x2xa成立因为(x2x)min，所以a.因为命题q为假命题，所以对任意的xR，x22ax2a0，所以4a24(2a)0a2a202a1.所以a的取值范围是2a0恒成立，满足条件时(4m)28(4m)0，解得4m4.当m4时，f(x)2x2，g(x)4x，对x0时不满足条件，当m4时，f(x)2(x2)2，g(x)4x，由两个函数图像知满足条件，所以由排除法知选C12定
16、义在R上的运算：xyx(1y)，对任意xR，不等式(xa)(xa)1恒成立，则a的取值范围是_解析：由已知，(xa)1(xa)1对任意的xR恒成立，即对任意xR，x2xa2a10恒成立时，求参数a的范围由14(a2a1)0，解得a答案：13已知两个命题：r(x)：sin xcos xm，s(x)：x2mx10，如果对任意xR，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围解：因为sin xcos xsin，所以当r(x)是真命题时，m又因为对任意xR，s(x)是真命题时，即x2mx10恒成立，有m240，所以2m2所以当r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m，同时m2或m2，即m2；当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m，且2m2，即m2综上，m的取值范围是m|m2或m214(选做题)已知f(x)ax2bxc的图像过点(1，0)，是否存在常数a、b、c，使不等式xf(x)对一切实数x均成立？解：假设存在常数a、b、c，使题设命题成立因为f(x)的图像过点(1，0)，所以abc0因为xf(x)对一切xR均成立，所以当x1时，也成立，即1abc1，故有abc1所以b，ca所以f(x)ax2xa故应xax2xa对一切xR成立，即恒成立所以a，所以ca所以存在一组常数：a，b，c，使不等式xf(x)对一切实数x均成立
