1、 1.6 微积分基本定理一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材 P51P54 的内容，回答下列问题(1)观察教材 P51 图 1.61，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 yy(t)，并且 y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段a，b内的位移为 s.由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)与 y(t)之间有什么关系？提示：v(t)y(t)如何利用 yy(t)表示物体在 ta，b上的位移 s?若 v(t)表示物体在任意时刻 t 的速度，如何用 v(t)求物体在 ta，b上的位移 s?提示：sabv(t)dt.由能否得出结论 sabv(t)dtaby(t)dty(b)y(a)成
2、立？提示：能提示：sy(b)y(a)(2)计算定积分0sin xdx，2sin xdx，02sin xdx，由计算结论你能发现什么规律？提示：当曲边梯形在 x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在 x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0.提示：0sin xdx2，2sin xdx2，02 sin xdx0.即定积分的值可正，可负，还可能为 0.(3)根据0sin xdx，2sin xdx 和02sin xdx 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材 P54 图 1.6
3、3，图 1.64，图 1.65)二、归纳总结核心必记1微积分基本定理内容如果 f(x)是区间a，b上的函数，并且F(x)，那么abf(x)dx符号abf(x)dxF(x)|ba.f(x)F(b)F(a)连续F(b)F(a)2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图(1)，则abf(x)dx(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图(2)，则abf(x)dx(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则abf(x)dx，若 S 上S 下，则abf(x)dx.S 上S 下S 上S 下0三
4、、综合迁移深化思维(1)满足 F(x)f(x)的函数 F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值(2)如果abf(x)dxabg(x)dx，那么是否一定有 f(x)g(x)？请举例说明提示：不一定，例如：当 f(x)2x，g(x)3x2 时，012xdx013x2dx，但 f(x)g(x)(3)如图，如何用阴影面积 S1，S2，S3 表示定积分abf(x)dx 的值？提示：abf(x)dxS1S2S3.(4)你认为abf(x)dx，ab|f(x)|dx 和abfxdx 有什么不同？提示：abf(x)dx 表示的是由 x 轴，函数 f(x)的图象及直线 xa，xb(ab)
5、所围图形面积的代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积)；fx 是非负的，所以ab|f(x)|dx 表示在区间a，b上所有以fx的图象为曲边的曲边梯形的面积和；abfxdx 则是abf(x)dx 的绝对值三者的值一般情况下是不同的，但对于 f(x)0，xa，b，三者的值是相同的探究点一 求简单函数的定积分思考探究(1)如何利用微积分基本定理求函数 f(x)在a，b上的定积分abf(x)dx?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤：求 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a)名师指津：由于abf(x)dxF(b)F(a)，且 f(x)的原函数间相差一个常数，在计算时，不
6、影响 F(b)F(a)的值，故abf(x)dx 是唯一的 (2)我们知道，已知函数 f(x)，则满足 F(x)f(x)的函数 yF(x)不唯一，那么abf(x)dx 的值唯一吗？典例精析计算下列定积分(1)01(x32x)dx；(2)02(xcos x)dx；(3)02sin2x2dx;(4)121xx1dx.解(1)14x4x2 x32x，01(x32x)dx14x4x2 1034.(2)12x2sin x xcos x，02(xcos x)dx12x2sin x 2028 1.(3)sin2x21cos x2，而12x12sin x 1212cos x，02sin2x2dx021212co
7、s x dx12x12sin x 2041224.(4)f(x)1xx11x 1x1，且ln xln(x1)1x 1x1，121xx1dx121x 1x1 dxln xln(x1)21ln 43.类题通法用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限 针对训练1计算下列定积分(1)-21 (1t3)dt；(2)-0 (cos xex)dx；(3)49
8、 x(1 x)dx；(4)0e33x2dx；(5)22 cos2xdx.解：(1)t14t4 1t3，-21 (1t3)dtt14t4 1-2114 21424 274.(2)(sin xex)cos xex，-0 (cos xex)dx(sin xex)0-(01)(0e)1e.(3)原式49(xx)dx49x12dx49xdx.23x32 x12，12x2 x，49x12dx49xdx23x32|9412x2|942716.(4)ln(3x2)33x2，0e33x2dxln(3x2)e0ln(3e2)ln(302)ln 3e22.(5)原式 22 cos2xdx 22 1cos 2x2dx
9、x2sin 2x41cos 2x2，22 cos2xdx12x14sin 2x2 2414sin 414sin 2.探究点二 求分段函数的定积分思考探究 abf(x)dx、acf(x)dx、cbf(x)dx(其中 acb)之间有什么关系？名师指津：abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 acb)典例精析求函数 f(x)x3，x0，1，x，x1，2，2x，x2，3在区间0,3上的积分解 由积分性质，得：03f(x)dx01f(x)dx12f(x)dx23f(x)dx01x3dx12 xdx232xdx01x3dx12x12dx232xdxx44 1023x32 21 2xln 2
10、 321443 223 8ln 2 4ln 2 51243 2 4ln 2.类题通法 分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分针对训练2计算定积分-40|x3|dx.解：因为 f(x)|x3|x3，x3，x3，x3，所以40|x3|dx43(x3)dx30(x3)dx12x23x -3-412x23x 0-35.探究点三 根据定积分求参数典例精析设函数 f(x)ax2c(a0)，若01f(x)dxf(x0)，0 x01，求x0 的值思路点拨 分别求出01f
11、(x)dx 和 f(x0)的值，然后利用二者相等建立关于 x0 的方程求解解 因为 f(x)ax2c(a0)，且a3x3cx ax2c，所以01f(x)dx01(ax2c)dxa3x3cx 10a3cax20c，解得x0 33 或 x0 33(舍去)即 x0 的值为 33.类题通法 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限 针对训练3设 f(x)axb，且-11 f(x)2dx1，求 f(a)的取值范围解：由-11 f(x)2dx1 可得，-11
12、 (axb)2dx-11 (a2x22abxb2)dxa23 x3abx2b2x 1-11，即 2a26b23，则 b232a263612，即 22 b 22.于是 f(a)a2b3b2b323b1621912，所以 22 f(a)1912.即 f(a)的取值范围为 22，1912.课堂归纳领悟1本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见探究点一和探究点二；(2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见探究点三3正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十)”(单击进入电子文档)
