1、考点42 直线、平面平行的判定与性质1如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（ ）A 异面直线和所成的角为定值B 直线和平面平行C 三棱锥的体积为定值D 直线和平面所成的角为定值【答案】D，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误故选2平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，则m，n所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】A3已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点P，Q分别为线段A1B，B1C上的动点，若直线PQ平面ACC1A1，点M为线段PQ的中点，则点M的轨迹长度为A B
2、 C D 【答案】D4棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（ ）A 5 B C D 6【答案】C【解析】结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.取BC中点M，取中点N，则四边形即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得，根据各边长，可以断定四边形为菱形，所以其面积，故选C.5在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（）求证：平面；（）若平面平面，求与平面所成的正弦值.【答案】
3、（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为.6如图，四棱锥，M，O分别为CD和AC的中点，平面ABCD求证：平面平面PAC；是否存在线段PM上一点N，使得平面PAB，若存在，求的值，如果不存在，说明理由【答案】（1）见解析（2）当N为PM靠近P点的三等分点时，平面PAB 7如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设，若点到平面的距离为,求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结,因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，平面平面，所以平面 8如图1，在中，分别为的中点，为 的中点，将ADE沿DE折起到的位置，使得平面如图2（）求证
4、： ;（）求二面角的平面角的余弦值.图1 图2【答案】(I)见解析；（II）.,设面的法向量，则，解得，所以，所以所以二面角的平面角的余弦值9如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，点为棱的中点.()求证：平面平面；()若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2) .10如图，已知平面平面，为线段的中点， ，四边形为边长为1的正方形，平面平面，为棱的中点.(1)若为线上的点，且直线平面，试确定点的位置；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）又平面的一个法向量所求锐二面角的余弦值约： .11如图所示, 平面,平面平面,四边形为正方形，, ,点在棱
5、上.(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析(2) 不存在,使得平面平面 则12在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，且，为的中点，为上一点，（1）若三棱锥的体积为，求的长；（2）证明：平面【答案】（1）（2）见解析又，而平面，平面，平面.13如图，三棱柱中，四边形为菱形，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）则14在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，分别为，的中点. （1）求证
6、：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .平面中，设法向量为，则 ,取,，所以二面角的余弦值为.15如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；（2）当二面角为直二面角时，求的值【答案】（1）见解析；（2）1设平16四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，点分别是线段上的中点，在上.且.（）求证：平面；（）求直线与平面的成角的正弦值；（）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.【答案】（1）见解析（2）（3）四边形为平面与四棱锥的表面的交线【解析】分析：（）推导出，由此能证明平面；（）
7、推导出，以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角做消息，利用向量法能求出直线AB与平面EFG的所成角的正弦值；（）法1：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形所以直线与平面的成角的正弦值为（）法：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.法2：记平面与直线的交点为，设，则由，可得.所以即为点.所以连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.17如图，四棱柱为长方体，点是中点， 是的中点.(I)求证: 平面；(l)若，求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 18在等腰直角中，分别为，的中点，将沿折起
8、，使得二面角为.（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；（2）二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）通过找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.（2）过点作的垂线，垂足为，以F为坐标原点，FB所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，两平面法向量夹角详解：（1）在面内过点作的平行线即为所求.19如图，四边形和四边形均是直角梯形，二面角是直二面角，. （1）求证：面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2） 20如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，
9、且，.(1)求证: 面；(2)求棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）. 【解析】分析：(1) 取中点，根据平几知识得四边形为矩形，即得，再根据线面平行判定定理得结论， (2)先证AD垂直平面ABNM，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果.21如图，矩形中，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2），注意到此二面角为钝角，故二面角的余弦值为. 22已知矩形与直角梯形，点为的中点，在线段上运动.（1）证明：平面；（2）当运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）23如图，在四棱锥中
10、，是棱中点且.（1）求证：平面；（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.【答案】(1)证明见解析.(2).又面的法向量为，24如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与直线所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）见解析(3) 【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)先证明面，再证明平面平面.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线与直线所成角的正弦值为.详解：（1）证明：连接，、分别是、的中点，即直线与直线所成角的正弦值为. 25底面为正方形的四棱锥，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足.（1）证明：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2） 所以，故，二面角的余弦值为.
