1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m,其实际概率的大小为n,则()A.mnB.mnC.m=nD.m是n的近似值解析随机模拟法求其概率,只是对概率的估计.答案D2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个黑球与都是红球B.至少有1个黑球与都是黑球C.至少有1个黑球与至少有1个红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球解析A中的两个事件是对立事件,不符合要求;B中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符合
2、要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D中是互斥而不对立的两个事件.答案D3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率为710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,因此“至多有一张移动卡”的概率为710.答案A4.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为()A.12B.110C
3、.23D.56答案A5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.答案B6.现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示不命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:80796619192527193281245856968348925739402755248
4、8730113537741根据以上数据,估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为()A.0.2B.0.25C.0.3D.0.5解析根据以上数据,该运动员三次射箭恰好有两次命中的有191,925,271,932,812,458,257,394,537,741,共10次.所以估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为1020=0.5.答案D7.欧阳修在卖油翁中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径3 cm,中间有边长为1 cm的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()A.14B
5、.12C.49D.2解析中间正方形小孔的面积S正=1,铜钱的面积S圆=322=94,油恰好落入孔中的概率P=S正S圆=49.故选C.答案C 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.12B.1-12C.6D.1-6解析记“点P到点O的距离大于1”为事件A,P(A)=23-12431323=1-12.答案B9.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为10,15),15,20),20,25),25,30)
6、,30,35,频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训,则这2位工人不在同一组的概率是()A.110B.715C.815D.1315解析根据题中频率分布直方图可知产品件数在10,15),15,20)内的人数分别为50.0220=2,50.0420=4,设生产产品件数在10,15)内的2人分别是A,B,生产产品件数在15,20)内的4人分别是C,D,E,F,则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F
7、),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.2位工人不在同一组的结果有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8种.则选取这2人不在同一组的概率为815.答案C10.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股之弦为边的正方形,其面积称为弦实.弦图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2勾股+(股-勾)2=4朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为13,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)
8、,则落在黄色图形内的图钉大约为(注:31.732)()A.134颗B.268颗C.402颗D.536颗解析设勾为a,则股为3a,弦为2a,则图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(3-1)2a2=(4-23)a2,由几何概型知,图钉落在黄色图形内的概率为(4-23)a24a2=1-32,所以落在黄色图形内的图钉大约有10001-32134(颗).答案A11.在区间0,4上随机取两个实数x,y,使得x+2y8的概率为()A.14B.316C.916D.34解析由x,y0,4知(x,y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部,其中满足x+2y8的区域为如图所示的阴影部分.易知A(4,2),S正
9、方形=16,S阴影=(2+4)42=12.故“使得x+2y8”的概率为S阴影S正方形=1216=34.答案D12.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则()A.p1p2p3B.p2p1p3C.p1p3p2D.p3p1p2解析总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则向上的点数之和不超过5的概率p1=1036=518;向上的点数之和大于5的概率p2=1-518=131
10、8;向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等,故向上的点数之和为偶数的概率p3=12.即p1p3p2,选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,则P(B)=.解析A,B为互斥事件,P(AB)=P(A)+P(B).P(B)=P(AB)-P(A)=0.7-0.4=0.3.答案0.314.随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班,每人值班1天,甲排在乙之前的概率是.解析安排甲、乙、丙三人在3天中值班,每人值1天,故甲在乙之前和乙在甲之前的机会相等,所以概率为12.答案1215.我国
11、数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如20=7+13.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是.解析不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,从中随机选取两个不同的数的情况有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(1
12、1,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28种不同的取法,这8个数中两个不同的数的和等于20的有2对,所以所求概率P=228=114.答案11416.如图,靶子由三个半径为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子内随机地掷一支飞镖,命中区域、的概率分别为p1,p2,p3,则p1p2p3=.解析p1p2p3=R2(4R2-R2)(9R2-4R2)=135.答案135三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012
13、345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.解记事件“在竞赛中,有k人获奖”为Ak(kN,k5),则事件Ak彼此互斥.(1)获奖人数不超过2人的概率为0.56,P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2
14、.18.(本小题满分12分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,那么该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解(1)从统计表可以看出,从这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有
15、200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1.所以,如果顾客购买了甲,那么该顾客同时购买丙的可能性最大.19.(本小题满分12分)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一
16、张.(1)设(i,j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3),写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由.解(1)方片4用4表示,则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为:(2,3),(2,4),(2,4),(3,2),(3,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),(4,2),(4,3),(4,4),共12种不同的情况.(2)甲抽到3,乙抽到的牌可能是2,4,4,因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概
17、率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大,有(3,2),(4,2),(4,3),(4,2),(4,3),共5种情况.甲胜的概率为512,乙胜的概率为712.因为512(a-b)2恒成立”的概率.解(1)由题意可知,n1+1+n=12,解得n=2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个.事件A包含的基本事件为(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个,所以P(A)=412=13.记“x2+y2
18、(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y24”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域=(x,y)|0x2,0y2,x,yR,而事件B所构成的区域B=(x,y)|x2+y24,(x,y),所以P(B)=SBS=22-22=1-4.21.(本小题满分12分)如图,一个均匀的转盘被平均分成8等份,分别标有“1,2,3,4,5,6,7,8”这8个数字,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:甲、乙两个人参与游戏,甲转动转盘,乙猜数,若猜的数与转盘转出的数相符,则乙获胜;若结果不相符,则甲获胜.(若指针恰好指在分割线上,那么重转一次)(1)如果乙
19、猜是“数9”,则乙获胜的概率为; (2)如果乙猜是“3的倍数”,则甲获胜的概率是;(3)如果乙猜是“偶数”,这个游戏对双方公平吗?请说明;(4)如果你是乙,请设计一种猜数方法,使自己获胜的可能性较大.解(1)如果乙猜是“数9”,则乙获胜的概率为0.故答案为0.(2)如果乙猜是“3的倍数”,则乙获胜的概率是28=14,则甲获胜的概率为1-14=34.故答案为34.(3)在这8个数中,偶数有4个,则乙获胜的概率为48=12,甲获胜的概率为12,这个游戏对双方公平.(4)乙猜不是3的倍数,在这8个数中,不是3的倍数的有1、2、4、5、7、8这6个,乙获胜的概率为68=34.22.(本小题满分12分)
20、砂糖橘是柑橘类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖橘,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45,(45,50,(50,55,(55,60进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间(45,50上的果树株数是产量在区间(50,60上的果树株数的43倍.(1)求a,b的值;(2)从样本中产量在区间(50,60上的果树里随机抽取两株,求产量在区间(55,60上的果树至少有一株被抽中的概率.解(1)样本中产量在区间(45,50上的果树有a520=100a(株),样本中产量在区间(50,60上的
21、果树有(b+0.02)520=100(b+0.02)(株),依题意,有100a=43100(b+0.02),即a=43(b+0.02).根据频率分布直方图可知,(0.02+b+0.06+a)5=1.解组成的方程组得a=0.08,b=0.04.(2)样本中产量在区间(50,55上的果树有0.04520=4(株),分别记为A1,A2,A3,A4,产量在区间(55,60上的果树有0.02520=2(株),分别记为B1,B2.从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中产量在(55,60上的果树至少有一株被抽中共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).记“从样本中产量在区间(50,60上的果树里随机抽取两株,产量在区间(55,60上的果树至少有一株被抽中”为事件M,则P(M)=915=35.
