1、圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程知识点圆的一般方程1圆的一般方程当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的图形条件图形D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆1方程x2y2x10表示一个圆()2二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程()3若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()4任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()一、圆的一般方程的辨析例1若方程x2y22mx2ym25
2、m0表示圆(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径解(1)由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解跟踪训练1(1)圆x2y24x2y40的半径和圆心坐标分别为()Ar1，(2,1) Br2，(2,1)Cr2，(2，1) Dr1，(2，1)答案D解析x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)21，所以半径和圆心分别为r1，(2，1)(2)若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围是()AmCm0，所以m0，即k1时才能表示圆5若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M
3、(3,0)的最长的弦所在的直线方程是_答案2xy60解析圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长由k2，得直线方程为y2(x3)，即2xy60.1知识清单：(1)圆的一般方程(2)求动点的轨迹方程2方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法3常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件1已知圆C：x2y22x2y0，则点P(3,1)在()A圆内 B圆上C圆外 D无法确定答案C2圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则圆心坐标为()A(1，1) B. C(1,2) D.答案D解析将圆的方程化为标准方程，得2(y1)2，所以圆心为.3方程x2
4、y24x2y5m0表示圆的条件是()Am1CmD.m0，解得m0)关于直线yx对称，则有()ADE0 BDECDFDEF答案B解析由圆的对称性知，圆心在直线yx上，故有，即DE.6如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的取值范围是_答案解析由(2)2124k0得k.7若点(a1，a1)在圆x2y22ay40的内部(不包括边界)，则a的取值范围是_答案(，1)解析点(a1，a1)在圆x2y22ay40的内部且不包括边界，则(a1)2(a1)22a(a1)40，解得a1.8已知直线与圆x2y22x4ya0(a0)的圆，则该圆的圆心在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因为
5、方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是圆，又方程可化为2(ya)2a23a，故圆心坐标为，r2a23a.又r20，即a23a0，解得4a0，故该圆的圆心在第四象限12当点P在圆x2y21上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21答案C解析设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，Q(3,0)，x12x3，y12y.又点P在圆x2y21上，(2x3)24y21，故选C.13已知圆x2y24x6ya0关于直线yxb成轴对称图形，则ab的取值范围是_答案(，8)解析由题意知，直线
6、yxb过圆心，而圆心坐标为(2,3)，代入直线方程，得b5，所以圆的方程化为标准方程为(x2)2(y3)213a，所以a13，由此得ab8.14如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_答案(0，1)解析r，当k0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2y22y0，即x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)15已知定点P1(1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|MP2|，则构成MP1P2面积的最大值是()A. B2 C. D2答案B解析设M(x，y)，由|MP1|MP2|，可得，化简得(x3)2y28，即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，又|P1P2|yM|yM|2.故选B.16设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.当点P在直线OM上时，有x，y或x，y.因此所求轨迹为以(3,4)为圆心，半径为2的圆，除去点和点.
