1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 直线和平面平行与平面和平面平行Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理2.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理考试热点1.以选择题考查多线多面的位置关系2.以棱柱、棱锥为载体综合考查线线、线面、面面平行的判定和性质，重点考查空间想象能力及空间问题平面化的转化思想.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1直线与平面的位置
2、关系包括 2平面与平面的位置关系包括直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行平面与平面相交，平面与平面平行Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3(1)一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面.(2)如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和平行平行不在平面内的交线Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4(1)如果两个平面没有公共点，那么这两个平面；(2)如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)如果两个平行平
3、面与第三个平面相交，那么它们的平行；(4)若，r，则.互相平行相交交线rCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是()A平面ABC必不垂直于 B平面ABC必平行于 C平面ABC必与相交 D存在ABC的一条中位线平行于或在内 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列四个命题，其中真命题是()若m，m，则；若，则；若m，n，mn，则；若m、n是异面直线，m，m，n，n，则.A和 B和 C和D和 答案：DCopyright 20
4、04-2009 版权所有 盗版必究 3设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C过a一定可以作一个平面与b垂直 D过a一定可以作一个平面与b平行Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：可证明过a一定有一个平面与b平行 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4下列命题中正确的命题是_ 直线l上有两点到平面距离相等，则l；平面内不在同一直线上三点到平面的距离相等，则；垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两平面平行；若a
5、、b 为异面直线，a，b，b，a，则.答案：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN平面PQDB.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 证明：连结NQ，如图2，由NQ綊A1D1綊AD知：四边形ADQN为平行四边形，则ANDQ；同理AMBP，又AMANA，根据平面与平面平行的判定定理可知，平面AMN平面PQDB.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
6、 直线与平面平行的判定与性质 例1 如图3，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBCm.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)求证：BCm；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论 分析(1)运用线面平行的判定与性质定理；(2)在平面PAD上探寻与直线MN平行的直线Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)证明：BC平面PAD，AD平面PAD，BCAD，BC平面PAD(判定定理)而BC平面PBC，平面PBC平面PADm，BCm(性质定理)(2)平行连结CM并延长，交DA的延长线于T，再连
7、结PT.M是平行四边形ABCD的边AB的中点，M是TC的中点MN是TPC的中位线MNPT.又T平面PAD，PT平面PAD.MN平面PAD.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 找到平面PAD中的直线PT是解题的关键实质上这里利用了公理2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如图4，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，M、N分别是A1B1、AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 A垂直 B平行 C相交但不垂直 D要依P点的位置而定 解析：由题设知
8、B1MAN且B1MAN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1N平面AMC1.又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NC平面AMC1，NP平面B1NC，NP平面AMC1.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图5，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.分析(1)只需证明BED1F或BFD1E即可证明B，E，D1，F共面；(2)利用面面平行的判
9、定条件证明Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 证明(1)连结FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1GBE.又同理，C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形，FG綊C1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形 A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)H 是 B1C1 的中点，B1H32.又 B1G1，B1GB1H23.又FCBC23，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知 A1GBE，且 HGA1GG，FBBEB，平面 A1
10、GH平面 BED1F.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如图6所示，平面平面，点A，C，点B，D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)证明：当AB，CD在同一平面内时，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 当AB与CD异面时，设平面ACDHDH，且DHAC.
11、，平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G，使AGGHCFFD.又AEEBCFFD，GFHD，EGBH.又EGGFG，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)如图8，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 且 ME12BD3，MF12AC2，EMF 为 AC 与 BD 所成的角(或其补角)，EMF60或 120，在EFM 中，EF ME2MF22MEMFcosEMF322223
12、212 136，即 EF 7或 EF 19.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平行关系的转化问题 例3 如图9，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，有CMDN，求证：MN平面AA1B1B.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 证明 解法 1：如图 9，作 MEBC，交 BB1 于 E，作 NFAD，交 AB 于 F，连结 EF，则 EF平面 AA1B1B.MEBCB1MB1C，NFADBNBD.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CMDN，B1MNB.又 B1CBD，MEBCBNBDNFAD，MENF.又 MEBC
13、ADNF，四边形 MEFN 为平行四边形MNEF，MN平面 AA1B1B.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法2：如图10，连结CN并延长交BA所在直线于点P，连结B1P，则B1P平面AA1B1B.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 NDCNBP，DNNBCNNP.又 CMDN，B1CBD，CMMB1DNNB CNNP，MNB1P.B1P平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法3：如图11，作MPBB1，交BC于点P，连结NP.MPBB1，BDB1C，DNCM，Copyrig
14、ht 2004-2009 版权所有 盗版必究 B1MBN，CMMB1DNNB，CPPBDNNB，NPCDAB，平面 MNP平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升(1)欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找这条“目标直线”，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡寻找方法一是将线段平移到已知平面(如解法1)；寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影(如解法2)(2)若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面
15、的平行线(如解法3)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如图12，已知平面平面平面，且位于与之间，点A、D，C、F，ACB，DFE.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)求证：ABBCDEEF；(2)设 AF 交 于 M，AD 与 CF 不平行，与 间的距离为 h，与 间的距离为 h，当hh 的值是多少时，SBEM 的面积最大？Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)证明：连结 BM、EM、BE，平面 ACFBM，平面 ACFCF，BMCF，ABBCAMMF.同理AMMFDEEF，ABBCDEEF.(2)由(1)知
16、 BMCF，BMCFABAChh，同理MEADhhh，BMMECFADhh(1hh)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 又 SBEM12BMMEsinBME.据题意知，AD 与CF 异面，AD、CF 是常量，平面 在，之间平移，AD、CF 所成的角也是定值，所以 sinBME 是常量，令hh x，只要考查函数 yx(1x)的最大值即可显然当 x12时，即hh x12时，yx(1x)有最大值当hh 12时，即平面 在，两平面的中间时，SBEM 的面积最大Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平行关系的综合应用 例4 如图13，正三棱柱ABC A1B1
17、C1的底面边长为2，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，MB平面AEF；(2)当MB平面AEF时，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)先假设MB平面AEF，然后逆推找寻点M满足的条件(2)在(1)的基础上，先判断BM与EF的关系，若相交直接求角，若异面平移后求角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)若MB平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于N，连结MN，NF.BB1平面A1ACC1，BFMN.又B
18、M平面AEF，BMFN，四边形BFNM为平行四边形 MN綊BF1，而EC綊2FB2，故M、N为ACE的中位线 M为AC的中点时，MB平面AEF.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)MB与EF是两条异面直线，EF平面BC1，B平面BC1，BEF，M平面BC1，MB与EF是异面直线 由(1)知，MBNF，EFN就是异面直线MB与EF所成的角或其补角 由平面ABC平面ACC1A1，BMAC，知MB面ACC1A1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 又 NFMB，FN平面 ACC1A1，FNAE，而 N 是 AE 的中点，EFAF 5，NFBM 3
19、，RtEFN 中，cosEFNNFEF 155，即所求角的余弦值为 155.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如图14所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点(1)求证：A1DB1C1；(2)试判断直线A1B与平面ADC1的关系，并证明你的结论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)点D是正ABC中BC边上的中点，ADBC.又AA1底面ABC，AA1BC.BC平面A1AD.A1DBC.又BCB1C1，A1DB1C1.(2)直线A1B与平面ADC1平行证明如下：连结A1C交于AC1于点F，则F为A1C的中点 D是BC的中点，DFA
20、1B.又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关系相互转化的示意图Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
