1、4.4幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+)上都有定义.(2)当0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当01时,图像.(3)若1).其中幂函
2、数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)xm2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=kx的图像过点12,22,则k+等于()A.12B.1C.32D.2(2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于()A.2B.1C.12D.0例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)a2+2-13和2-13.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)250.5与130.5;(2)-23-1与-35-1.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专
3、练1.以下结论正确的是()A.当=0时,函数y=x的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x的图像关于原点对称,则y=x在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限2.下列不等式成立的是()A.13-1212-12B.3423322D.8-7819783.函数y=x-3在区间-4,-2上的最小值是.4.若幂函数fx=(m2-m-1)xm2-2m-3在(0,+)上是减函数,则实数m=.参考答案自主预习1.y=x底数指数2.(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)递增下凸(3)(1,1)递减(4)原点(0,0)y轴(5)
4、四课堂探究例1(1)B解析:幂函数有两个.(2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得m2+2m-2=12n-3=0,解得m=-3,n=32或m=1,n=32.所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1(1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f12=22,所以12=22,解得=12,从而k+=32.(2)A解析:因为fx=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2(1)考查幂函数y=x1.1,因为在其区间0,+)上是增函数,而且2.32.5,所以2.31.113,所以250.5130.5.(2)因为幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的,又-23-
5、35-1.例3因为y=x23=3x2,所以不难看出函数的定义域是实数集R.记fx=x23,则f(-x)=(-x)23=3(-x)2=3x2=x23=f(x),所以函数y=x23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x23在x0,+)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x(-,0时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-,0上单调递减,在区间0,+)上单调递增.核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-,0)上单调递减,所以当x=-2时,ymin=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m
6、=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=ab(a0,a1)中.如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的
7、有.y=3x2y=x2-1y=-1xy=1x2y=x-13y=2x课堂探究1.问题:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题:根据问题,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)xm2-1
8、+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-1978;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确
9、的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f127的值为()A.19B.9C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab4.若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图像不过原点,则()A.1m2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=x的定义域为0,+),则满足条件的可以是.(写出两个满足条件的值)(2)已知幂函数f(x)=x的图像经过点(0,0),
10、(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=x的图像经过点2,18,则=,若f(a+1)f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1m=-3,n=32例2(1)2.31.12.51.1(2)(a2+2)-132-13变式训练1(1)-8-78-1978(2)(-2)-3(1.2)-0.1(4)(-1.9)34(3.8)-23bca7.-3(-,-1)23,328.(1)x|x0,偶函数(2)R,非奇非偶函数(3)R,奇函数(4)x|x0,非奇非偶函数9.作图略.(1)幂函数在(0,+)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1).(2)如果0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+)上为增函数.(3)如果0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+)上为减函数.
