1、第一节平面向量的概念及线性运算命题分析预测学科核心素养本节在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大本节通过平面向量的线性运算，考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用授课提示：对应学生用书第87页知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等
2、或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 温馨提醒 1对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况2单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有真命题的序号是()ABC D解析：根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误答案：A2(易错题)设a0为单位向量若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a
3、与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3答案：D知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|
4、；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab1已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图所示，ba，ab答案：baab2设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC若12(1，2为实数)，则1_，2_解析：()，所以1，2答案：3在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_解析：如图所示，因为，所以|由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形答案：矩形知识点三共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba 温馨提醒
5、 三个常用结论(1)P为线段AB的中点()(2)G为ABC的重心若A，B，C是平面内不共线的点，则0(3)(，为实数)，若点A，B，C共线，则11若mn，nk，则向量m与向量k()A共线B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：若n0，则m与k共线；若n0，则m与k不一定共线答案：D2(易错题)已知向量a，b，若|a|2，|b|4，则|ab|的取值范围为_解析：当a与b方向相同时，|ab|2，当a与b方向相反时，|ab|6，当a与b不共线时，2|ab|6，所以|ab|的取值范围为2，6此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况答案：2，6授课提示：对应学生用书第88页题型一平面向量的有关概
6、念及线性运算考法（一）平面向量的有关概念1（2021南宁质检）已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是（）A|a|b|1Bab1C当a，b反向时，ab0D当a，b同向时，ab解析：a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|b|1，正确；对于B，ab|a|b|cosa，bcosa，b，错误；对于C，当a，b反向时，ab0，正确；对于D，当a，b同向时，ab，正确答案：B2给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；“ab”的充要条件是“|a|b|且ab”其中真命题的序号是_解析：不正确，
7、两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，因为，所以|且，又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件正确，因为ab，所以a，b的长度相等且方向相同，又bc，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故ac不正确，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，真命题的序号是答案：向量概念的注意点（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（2）共线向量即为平行向
8、量，它们均与起点无关考法（二）平面向量的线性运算1（2021云南曲靖一中月考）在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且2，3，若a，b，则（）AabBabCab Dab解析：（）ab答案：C2如图所示，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s（）A1 B2C3 D4解析：法一：由题图可得（）（）因为rs，所以r，s，则2r3s123法二：因为2，所以2（），整理得（），以下同法一答案：C平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略（1）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则（2）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三
9、角形法则题型二平面向量共线定理的应用例设两个非零向量a与b不共线（1）若ab，2a8b，3（ab），求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使kab和akb共线解析（1）证明：因为ab，2a8b，3（ab），所以2a8b3（ab）5（ab）5，所以，共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线（2）因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab（akb），即（k）a（k1）b又a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10所以k210所以k1变式探究1（变条件）若将本例（1）中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解析：（amb）3（ab）4a（m3）b，即4a（m
10、3）b若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4a（m3）b（ab），所以解得m7故当m7时，A，B，D三点共线变式探究2（变条件）若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解析：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab（akb）（0），所以所以k1又1），则（1）因为C，O，D三点共线，令（1），所以（1，1）因为mn，所以m，n，则mn（1，0）答案（1，0）利用共线定理的推广及数形结合分析是解决此类问题的关键对点训练如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_解析：法一：（）M，O，N三点共线，1mn2法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时mn1，mn2答案：2
