1、第五章 三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义2.掌握ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期，单调区间及最值重点： ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值难点：会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期，单调区间及最值1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个_，使得当x取定义域内的_值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个最小正数
2、就叫做f(x)的最小正周期2两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是_.(2)余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是_.2.正、余弦函数的奇偶性1对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是_函数，正弦曲线关于_对称2对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是_函数，余弦曲线关于_对称3.正、余弦函数的单调性与最值不同处图象奇偶性_函数_函数单调性在(kZ)上是_；在(kZ)上是_在2k，2k(kZ)上是_；在2k，2k(kZ)上_不同处对称轴xk(kZ)
3、xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x_时，ymax1；x_时，ymin1x_时，ymax1；x x_时，ymin1提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin
4、x+2k=sinx（kZ）中得到反映，即自变量x的值增加2整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律1.周期性 一般地，对于函数fx ,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=fx那么函数fx就叫做周期函数（periodicfunction）非零常数T叫做这个函数的周期（period） 周期函数的周期不止一个例如，以及，都是正弦函数的周期事实上kZ，且 k，常数2k都是它的周期 如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期（minimalpositivep
5、eriod） 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是类似地，余弦函数也是周期函数， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是典例解析例2求下列三角函数的周期：(1) y3sinx，xR；(2)ycos 2x，xR；（3）y=2sin12x-6,xR;2.奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 ， 也可由诱导公式sin-x=-sinx；cos-x=cosx得到 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ?做
6、一做1(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为 ()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性3. 单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 -2,32） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 x 由-2 增大到 2时 ， 曲线逐渐上升 ， sinx的值由-1增大到 1； 当x 由 2增大到32时 ， 曲线逐渐下降 ， sinx的值由 1减小到 -1sinx 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ： 就是说，正弦函数y=sinx在区间-2,2上
7、单调递增，在区间2,32 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间-2+2k,2+2k （ kZ ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间2+2k,32+2k （ kZ ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 -,） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3 由此可得，余弦函数y=cosx,x-,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ；上单调递增，在区间 上单调递减，其值从1减小到-1由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；
8、在每一个闭区间 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx y=cosx.最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 x 时,取得最大值 ， 当且仅当 x 时,取得最小值 ；余弦函数当且仅当 x 时,取得最大值 ， 当且仅当 x 时,取得最小值 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量x的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 （ ） y=cosx+1， x R ；（ ） y=-3sin2x ， x R例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：(1) sin(
9、-18); sin(-10) (2) cos(-235); cos(-174)例5. 求函数y=sin(12x+3), x ， 的单调递增区间 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若sin(6060)sin 60，则60为正弦函数ysin x的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()(3)函数ysin x，x(，是奇函数()2.函数f(x)sin，xR的最小正周期为() A.B C2 D43.函数f(x)sin的一个递减区间是() A. B，0 C. D.4比较下列各组数的大小：(1)cos 150与cos 170；(2)sin 与sin.1.
10、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间：（1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间参考答案：一、 知识梳理1最小的正数; 2; 2 2奇;原点;偶;y轴3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2k(kZ)；2k(kZ)；2k ；2k 二、 学习过程例2分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T=fx而求出相应的周期对于（），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，xR；对于（），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin12(x+T)-6=sin12x-6, xR；【解】(1
11、) ，有3sin(x)3sinx，由周期函数的定义知，y3sinx的周期为2.(2)令，由，得，且的周期为2.即因为cos (z2)cosz，于是cos(2x2)cos 2x，所以cos2(x)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.令z=12x-6,由xR得ZR且y=2sinz的周期为即周期为2. 即，2sinz+2=2sinz,于是，2sin12x-6+2=2sin（12x-6）所以，2sin12（x+4）-6=2sin（12x-6）由周期函数的定义知，原函数的周期为4.回顾例的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？做一做：【答案】A【解析】(1)f(x
12、)的定义域是R，且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数 (2)f(x)sincos x，f(x)coscos x，函数f(x)sin为偶函数.例3. 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 （ ） 使函数 y=cosx+1， x R取得最大值的 狓 的集合 ， 就是使函数 y=cosx， x R ，取得最大值的x 的集合 x x2k ， k Z ；使函数y=cosx+1， x R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 y=cosx， x R取得最小值的 x 的集合 x x （ 2k +1） ， k Z 函数y=cosx+1， x R 的最大值是 ；
13、 最小值是 (2)解 ： 令 z 2x， 使函数） y=-3sin2x ， zR 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 y=sinz，zR 取得最小值的 z 的集合 z z- 2+2k ， k Z 由 z 2x - 2+2k ，得x - 4+k 所以 ， 使函数y=-3sin2x ， xR 取得最大值的x 的集合是 x x - 4+k, k Z 同理 ， 使函数y=-3sin2x ， xR取得最小值的x 的集合是 x x 4+k, k Z 函数 y=-3sin2x ， xR的最大值是 ， 最小值是 例4. 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 为此 ， 先用诱导公式将已
14、知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 解 ：（ ） 因为- 210-180，正弦函数y=sinx在-2,2上是增函数，所以Qsin-18sin(-10)(2) 解：cos-235=cos235=cos35；cos-174=cos174=cos4因为0435cos4；即cos(-174)cos-235例5. 分析 ： 令z= 12x+3当自变量x 的值增大时 ， z 的值也随之增大 ， 因此若函数 y=sinz在某个区间上单调递增 ， 则y=sin(12x+3)在相应的区间上也一定单调递增 解 ： 令 z= 12x+3， x- ， ， 则 z -23,43因为y=sinz ， z -2
15、3,43的单调递增区间是z -2,2， 且由-212x+3 2，得-53x 3 所以 ， 函数y=sin(12x+3), ， x- ， 的单调递增区间是-53,3三、达标检测1【解析】(1).举反例，sin(4060)sin 40，所以60不是正弦函数ysin x的一个周期(2).根据周期函数的定义知，该说法正确(3).因为定义域不关于原点对称【答案】(1)(2)(3)2.【解析】因为sinsinsin，即f(x4)f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4.【答案】D3.【解析】令x，kZ，得x，kZ，k0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而.故选D.【答案】D4【解】(1)因为90150170cos 170.(2)sinsinsin sinsin .因为0，函数ysin x在区间上是增函数，所以sin sin ，即sin sin.
